六下总复习“图形与几何”之平面图形知识梳理

画堂春

学具提醒:该部分内容需要提前准备好三角板、直尺、量角器和圆规。

目录

一、复习线段、射线和直线

二、复习角的有关内容

三、复习7个常见的封闭平面图形

复习线段、射线和直线

　　线和角，都是研究平面图形和立体图形的基础元素，点在线上，线在和角在面上，而面又在体上，值得我们深度研究，合理辨析，建立联系。

1.什么是线段、射线和直线？

线段就是直线上两点之间的部分​​。两点之间，线段最短。

把线段的一端无限延长，就得到一条射线；

把线段的两端都无限延长，就得到一条直线。过一点可以画无数条直线，两点确定一条直线。

2.线段、射线和直线的联系和区别

联系:都是直直的；线段是直线或射线的一部分。

区别:从端点数量和可测量属性来说。

3.直线的位置关系：垂直与平行

同一平面内，两直线的位置关系是平行或相交(垂直是相交的一种特殊情况。)

①什么是垂线？

两条直线相交成直角的时候，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另外一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足，记作A⊥B。两直线相交组成的4个角中如果有一个角是直角，那么其他3个角也是直角。

⚠️注意:

不能说某一条直线是垂线，只能说两条直线互为垂线；

垂线不是垂直线段的简称，垂线是直线，而垂直线段是线段。

②什么是平行线？

像这样不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线，记作a//b。两平行线间可以画无数条垂直线段。平行线间的距离处处相等。

⚠️注意:平行的行，不要写成形状的形。

③画垂线和平行线的方法

④三个容易混淆的距离

两点间的距离:连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离。（两点之间，线段最短）

点到直线的距离（垂直线段最短）从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫做点到直线的距离。

平行线到平行线的距离（处处相等）两平行线间可以画无数条垂直线段。

【总复习拓展题】两直线相交求交点数

复习角的有关内容

1.什么是角？

①静态定义:从一点引出的两条射线可以组成角。

②动态定义:角是一条射线绕着端点旋转而成的。

角的大小和（边的长度）无关，和（开口大小）有关。

不要写成下面图片的样子

⚠️注意:

大家在写答的时候，写成∠1是15°，∠3是165°或者∠1＝15°，∠3＝165°。有的同学直接把角几和度数连在了一起，看起来很不清晰，有的同学写的冒号，有的同学写的逗号，都不规范。

【拓展】数线段和数角

2.角的度量

①认识量角器

为了准确测量角的大小，要有统一的度量工具和计量单位，量角器是度量角的工具。把半圆分成180等份(或把圆分成三百六十等份)，每一份所对的角是1度的角。“度”是角的计量单位，用符号°表示，如1度记作1°

②用量角器量角

1️⃣量角器的中心要和角的顶点重合。

2️⃣0°刻度线要和角的一条边重合。

3️⃣从0°开始数起看另一条边所对的刻度是多少。

⚠️注意：

量角器上同一刻度上的内外圈刻度数字和为180°。如45度刻度线，同时也是135度刻度线；

不是必须和0°刻度线重合，也可以和任意刻度线重合，然后用两边所对应的度数相减。

补充:题目中说求角的度数，那就不要用量角器去量，而要去算一下。比如说已知∠1=120°，求∠2。

③用量角器画角

1️⃣先画一条射线，这是角的一条边。

2️⃣量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合。

3️⃣从0°起找到要画的度数，点一个点作标记，画出另一条边。

4️⃣画好后记得在角内标上弧线和度数。

⚠️注意:不一定要画到标处，画到适当位置处即可。

3.角的分类

【拓展】

三角尺上的角

三角尺上最大的角是直角。用三角尺去拼角的时候，可以拼出12种不同的度数，分别是15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°依次加15° 到180°为止。它们的特征是都是15°的倍数。

钟面上的角

钟面上一大格形成的角是30°，一小格是6°

钟面上的直角只有3时和9时整，而3:30、9:30不是直角；

钟面上的平角只有6时整，12:30不是平角；

钟面上的周角只有12时整，6:30不是周角。

红领巾上最大的角是钝角。

易错判断：

1️⃣射线比直线短❌(因为射线和直线都不可测量)

2️⃣钝角就是大于90°的角❌(没有考虑要小于180°)

3️⃣平角就是一条直线 ❌(角必须有两条边，而且两条边都是射线)

4️⃣周角就是一条射线❌(周角是两条射线重合了)

5️⃣一副三角尺能拼出65°和145°的角❌

6️⃣锐角三角形最大的角不小于60度✓ （三个角都相等时，最大角=60°，只要有角不等，必有一个角大于60°）

【拓展】剪去一个角，还剩几个角？

七个常见的平面图形

下面主要复习7个常见的平面图形:

三角形、平行四边形、长方形、正方形、梯形、圆和扇形。

1.复习三角形

如何用尺规画一个三角形？

任意三个点都能围成三角形吗？

三点共线，围不成三角形，三点不共线时，能围成三角形。

任意三条边都能围成三角形吗？

必须两边之和大于第三边时才能围成三角形。

三角形的三个角是任意度数吗？

三角形的内角和必须是180度。

①定义

由三条线段首尾相接围成的图形叫做三角形。

②各部分名称

任意三角形都有3条边、3个角和3个顶点；

从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底，任何三角形都有三条高，高一般用虚线表示。图中的高和底是对应的，高和底互相垂直。

⚠️画高的常见错误:找错底。

⚠️画高的常见错误:画的不垂直，但是却标上了直角符号。

【拓展】（仅了解）

1.锐角三角形:三条高交于三角形内部一点，这个交点叫垂心。

2.直角三角形:三条高交于直角顶点。

3. 钝角三角形:三条高延长线交于三角形外部一点。

总之，任意三角形三条高所在直线一定交于同一点

③分类

1️⃣按角分类

2️⃣按边分类

两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，底和腰的两个夹角叫做底角，它的两个底角也相等，是轴对称图形，有一条对称轴（跟底边高正好重合。）

三条边都相等的三角形是等边三角形，三条边都相等，三个角也都相等（每个角都是60°，所有等边三角形的三个角都是60°。）

等边三角形是特殊的等腰三角形。

有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，它的底角等于45°，顶角等于90°。

④三角形的特性

1️⃣三角形的内角和是180°。所以一个三角形中最多只有1个直角，也最多只有1个钝角。

为什么三角形的内角和为180°？

三角形计算角的常考题型

其中等腰三角形中的经典题型必须掌握:

已知顶角求底角:（180°-顶角）÷2

已知底角求顶角:180°-底角×2

2️⃣三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

3️⃣三角形具有稳定性。斜拉桥、自行车架都用到了此特性。

4️⃣等腰三角形和等边三角形都是轴对称图形，等腰三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴。

2.复习四边形(包含平行四边形、长方体、正方体、梯形)

①定义

在同一平面内，由四条线段首尾相连围成的图形是四边形。

②四边形的特性

1️⃣四边形的内角和是360°。

2️⃣四边形具有不稳定性，易变形。如升降机、伸缩门等都用到了此特征。

3️⃣长方形、正方形和等腰梯形都是轴对称图形，其中长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰梯形有1条对称轴。

长方形和正方形都具有平行四边形的特征，两组对边分别平行且相等，所以长方形和正方形都是特殊的平行四边形；

正方形具有长方形的特征，是四条边都相等的长方形，所以正方形是特殊的长方形。

①平行四边形

两组对边互相平行的四边形叫平行四边形。它的对边平行且相等，对角相等。从一个顶点向对边可以作两种不同的高。底和高一定要对应。一个平行四边形有无数条高。

⚠️易错判断:任何两个等底等高的梯形都能拼成一个平行四边形❌（只满足等底等高，形状不一定相同）

②长方形

长方形是特殊的平行四边形。

长方形特征:有四条边，对边相等；有四个角，四个角都是直角。

③正方形

两组对边分别平行，有一个角是直角且相邻两边相等的四边形是正方形。

正方形是特殊的长方形。

正方形特征:有四条边，四个边都相等；有四个角，四个角都是直角。

【易错】有的学生认为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，这句话不对，觉得还应该加上相等，其实只要满足平行的条件就是平行四边形，相等只是附加条件。

④梯形

只有一组对边平行的四边形叫梯形。平行的一组对边较短的叫做梯形的上底，较长的叫做梯形的下底，不平行的一组对边叫做梯形的腰，两条平行线之间的距离叫做梯形的高（无数条）。

两条腰相等的梯形叫等腰梯形，它的两个底角相等，是轴对称图形，有一条对称轴。

直角梯形有且只有两个直角。

两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。

【拓展】把正六边形分成6个一样的图形

思考过程:如下图，先把六边形分成三个完全相同的图形，然后把每个图形再分成两个完全相同的图形。

【拓展】多边形的内角和规律

【拓展】多边形的外角和为什么都是360°？

3.复习圆

①什么是圆

圆是曲线围成的平面图形。

圆有一个中心，叫作圆心，从圆心到圆上的距离处处相等。

连接圆心到圆上任意一点之间的距离叫做半径，圆有无数条半径；

通过圆心，且两端都在圆上的线段叫作直径，圆有无数条直径。

②圆的特征

在同圆或等圆中，半径都相等，直径也都相等，直径是圆中最长的线段，直径的长度是半径的两倍，周长是直径的π倍（不是3.14倍，3.14只是个近似值）。

半径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

圆是轴对称图形，有无数条对称轴。

4.复习扇形

①什么是扇形？

如图，圆上A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形的，即图中的涂色部分。

顶点在圆心的角叫做圆心角。扇形的大小与圆心角有关，也与所在圆的半径有关。在同圆或等圆中，圆心角越大，扇形越大。

②扇形的对称轴

③扇形有关的易错判断题

1️⃣扇形是圆的一部分，圆的一部分不一定是扇形。✓

2️⃣扇形是轴对称图形，它有一条对称轴。✓

3️⃣用6个圆心角都是60°的扇形，一定可以拼成一个圆❌

4️⃣圆心角越大，扇形的面积就越大。❌

5️⃣在一个圆中剪去一个扇形后，剩下的部分一定是扇形✓

举例说明平面图形的特点在生活中的应用。

平面图形的周长和面积

1.什么是周长和面积

①围成的平面图形一周边线的长度，叫作图形的周长。如:三角形三条边长度的总和就是三角形的周长。

②围成的平面的大小，叫作图形的面积。如:四条线段围成的长方形平面的大小就是长方形的面积。

2.长度、面积单位以及它们之间的进率

线——长度单位：mm cm dm m km

面——面积单位：cm² dm² m² hm² km²

⚠️注意“hm²”是公顷，公顷也叫平方百米，是边长为100m的正方体的面积那么大，大概是九一小学后院那么大。

1公顷＝10000平方米

1平方千米＝100公顷

1cm² 1dm² 1m² 1hm² 1km²

这几个面积单位有多大？

3.长方形、正方形和圆的周长公式

4.长(正)方形、三角形、平行四边形、梯形、圆的面积公式

平行四边形面积公式推导过程描述:

1️⃣平行四边形可以转化为长方形

2️⃣转化后的长方形的长相当于平行四边形的底，转化后的长方形的宽相当于平行四边形的高

3️⃣因为长方形的面积公式为长乘宽，所以平行四边形的面积公式为底乘高。

三角形面积公式推导过程描述:

1️⃣两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形

2️⃣转化后的平行四边形的底相当于三角形的底，转化后的平行四边形的高相当于三角形的高

3️⃣因为平行四边形的面积等于底乘高，所以三角形的面积等于底乘高除以二

梯形面积公式推导过程描述:

1️⃣两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形

2️⃣转化后的平行四边形的底相当于梯形的上下底之和，转化后的平行四边形的高相当于梯形的高

3️⃣因为平行四边形的面积为底乘高，所以梯形的面积公式为上下底的和乘高除以二。

【选看】三角形面积公式推导的三种方法

（感兴趣的同学可了解）

【选看】梯形面积公式推导的7种方法（感兴趣的同学可了解）

5.不规则(组合)图形面积的计算方法

常见题型:

1️⃣已知三角形的面积和底，求三角形的高

用“三角形的面积×2÷底”

“三角形的面积×2”相当于拼成的平行四边形的面积，除以底就是平行四边形的高，也就是三角形的高。

2️⃣已知圆的半径比，求周长比与面积比

周长比＝半径比，面积比＝半径比²

3️⃣已知圆的直径，求半圆的周长和面积

半圆的周长是πr+d，半圆的面积是πr²÷2

（有的同学会误认为半圆就是圆周长的一半，半圆除了圆周长的一半之外，还加一条圆的直径）

【周长与面积拓展1】把长方形拉成平行四边形，周长和面积发生怎样的变化？

【周长与面积拓展2】周长一定与面积一定时得出的两个规律

规律:

1️⃣周长一定时，长和宽越接近，面积越大。越是扁长的长方形，面积越小。

⚠️注意:如果是有一堵墙，然后在三面围篱笆围成一个长方形，篱笆的周长一样的情况下，长是宽的2倍时，面积最大，和上面的周长一定时得出的结论是不一样的。

2️⃣面积一定时，长和宽越接近，周长越短，长与宽差距越大，周长越长。（越是扁长的长方形周长越长。）

【圆的周长拓展题】

【圆的面积拓展题】

【长方形的周长与面积拓展题】

【高频错题】

格式提醒:好多同学写的1π，写成π即可。

【结语】

人生如几何，精力如周长。

偏执如扁长矩形，终是狭小；

守正如方圆形态，方得圆满。