图形的放大与缩小 <p class="ql-block"><b style="color:rgb(22, 126, 251);">1.什么是图形的放大和缩小？</b></p><p class="ql-block"><b style="color:rgb(1, 1, 1);">①含义</b></p><p class="ql-block"><b style="color:rgb(237, 35, 8);">图形的放大</b>，是把图形的各条边都按相同的比扩大，形状不变，只改变大小；</p><p class="ql-block"><b style="color:rgb(237, 35, 8);">图形的缩小</b>，是把图形的各条边都按相同的比缩小，形状不变，只改变大小。</p> <p class="ql-block"><b>②举例</b></p><p class="ql-block">比如“<b style="color:rgb(237, 35, 8);">2:1</b>”，表示新图形 : 原图形 = 2:1，意思是把原图形的边长放大到原来的2倍。</p><p class="ql-block">比如“<b style="color:rgb(237, 35, 8);">1:3</b>”，表示新图形 : 原图形 = 1:3，意思是把原图形的边长缩小到原来的1/3。</p><p class="ql-block">⚠️细节提醒：放大或缩小后的图形都是以原图为标准度量的，按比的表述方式，也就是以比的后项为标准去度量前项，因此<b style="color:rgb(237, 35, 8);">原图的尺寸作为后项</b>，<b style="color:rgb(237, 35, 8);">变化后图形的尺寸作为前项。</b></p><p class="ql-block"><b>③判断方法</b></p><p class="ql-block">按几比几放大→放大后:放大前→前项＞后项→比值大于1，表示图形放大；</p><p class="ql-block">按几比几缩小→缩小后:缩小前→前项＜后项→比值小于1，表示图形缩小。</p> <p class="ql-block"><b style="color:rgb(22, 126, 251);">2.图形放大与缩小的特点（变与不变）</b></p><p class="ql-block"><b style="color:rgb(237, 35, 8);"><u>形状不变，大小变化。 </u></b></p><p class="ql-block"><b>①什么不变：</b> 图形的大小、形状、内角。</p><p class="ql-block"><b>②什么改变：</b> 图形的边长、周长和面积。</p><p class="ql-block">⚠️常见误区</p><p class="ql-block">①角的大小会变吗？不会，用放大镜看一个30度的角，它还是30度。</p><p class="ql-block">②直角三角形按2：1放大，放大后的斜边也是原来的2倍吗？是的，放大是图形上的每一条边都跟着放大了。</p> <p class="ql-block"><b style="color:rgb(1, 1, 1);">（补充）放大后的图形变化规律</b></p><p class="ql-block">①<b style="color:rgb(237, 35, 8);">边长和周长</b>：放大n倍或缩小到原来的1/n，边长和周长也跟着变成原来的n倍或1/n。</p><p class="ql-block">②<b style="color:rgb(237, 35, 8);">面积</b>：如果把一个图形按n:1的比放大，放大后与放大前图形的面积比是n²∶1；</p> <p class="ql-block">③<b style="color:rgb(237, 35, 8);">体积</b>：（拓展）一个立体图形按n:1的比放大，放大后与放大前的体积比是n³：1</p> <p class="ql-block"><b style="color:rgb(22, 126, 251);">4.在方格纸上画放大或缩小后的图形</b></p><p class="ql-block"><b>一看</b>： 数清楚原图形每条边占几格。</p><p class="ql-block"><b>二算</b>： 根据给定的比，计算出新图形每条边占几格。公式是：新边长 = 原边长 × 比值。</p><p class="ql-block"><b>三画</b>： 按照计算出的格数，画出新图形。</p> <p class="ql-block">【拓展】小学图形的运动</p><p class="ql-block">除了这节课学过的放大与缩小，我们以前还学过平移、旋转、翻转，这些都是<b>图形的运动</b>，<b style="color:rgb(237, 35, 8);">图形运动的本质</b><b>就是图上的每一个点、每一条线在运动</b>，也就是<b style="color:rgb(237, 35, 8);"><u>构成平面图形的要素（点、线）在运动</u></b>，正是这些图形的变换构成了有趣的世界，初中还会继续学到全等变换和相似变换。</p> <p class="ql-block">【图形的放大与缩小拓展题】</p> 认识比例 <p class="ql-block"><b>1.比和比例的区别</b></p><p class="ql-block">比：由<b>两个数</b>组成，是一个式子，表示两个数相除。</p><p class="ql-block">比例：由<b>四个数</b>组成，是一个等式，表示两个比相等。</p> <p class="ql-block"><b>2.比例的意义</b></p><p class="ql-block">①含义:表示两个比相等的式子叫作比例。</p><p class="ql-block">根据比例的意义可以判断两个比能否组成比例，如要判断4个数是否成比例，看最大数×最小数是否等于另外两数的积。</p> <p class="ql-block">②比例的项</p><p class="ql-block">组成比例的四个数，叫做<b>比例的项</b>。两端的两项叫作<b>比例的外项</b>，中间的两项叫作<b>比例的内项</b>。</p> <p class="ql-block">③比例有两种形式，<b>比号形式</b>与<b>分数形式</b>，如下图:</p> 比例的基本性质 <p class="ql-block"><b>1.什么是比例的基本性质？</b></p><p class="ql-block">在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫作<b>比例的基本性质</b>。</p><p class="ql-block">用字母表示为：如果a:b=c:d，那么ad=bc。</p> <p class="ql-block"><b>2.比例的基本性质的三个用途</b></p><p class="ql-block">①判断两个比能否组成比例：只要交叉相乘的积相等，就能组成比例。</p><p class="ql-block">②逆用比例的基本性质把等积式改写成比例式，一个乘积式可以改写出8个比例式。</p> <p class="ql-block">③解比例（求未知数）： 这是最重要的应用。根据性质把比例式转化成乘法方程，就能轻松求出未知数。</p> <p class="ql-block">【比例的基本性质拓展题】</p> 解比例 <p class="ql-block"><b>1.什么是解比例？</b></p><p class="ql-block">根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例的那个未知项。求比例中的未知项，叫作<b>解比例</b>。<b style="color:rgb(237, 35, 8);">解比例的依据</b>：解比例可依据比例的基本性质，也可依据比的意义。</p> <p class="ql-block"><b>2.解比例的方法</b></p><p class="ql-block">方法一：根据比例的基本性质，先将比例转化为“外项之积等于内项之积”的等式，再解方程，求出未知项的值（转化思想）</p> <p class="ql-block">方法二：根据比例的意义，求出已知比的比值，再解方程。</p> <p class="ql-block"><b>3.解不同形式的比例</b></p><p class="ql-block">①解分数形式的比例</p><p class="ql-block">方法：根据比例的基本性质，交又相乘把比例改写成等积式，再通过解方程得未知数的值。</p> <p class="ql-block">②解混合式比例</p><p class="ql-block">方法：比例式与分数式方程混合，先统一形式，再按照解比例方程的方法求解。</p> <p class="ql-block"><b>4.运用解比例法确定比例的另外一项</b></p><p class="ql-block">方法：已知比例中的三个数，求任意与之能组成比例的数，有三种可能情况，这个数可能与已知三个数中任意一个数组成比例的内项或外项。</p> <p class="ql-block">【解比例拓展题】</p> 比例尺 <p class="ql-block"><b>1.意义</b>：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。</p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8);">注意</span>：比例尺叫做比例尺，但<b style="color:rgb(237, 35, 8);">比例尺并不是比例，而是一个比，</b>表示两个同类量间的倍比关系，不能带单位。</p><p class="ql-block"><b>2.分类：</b>按表现形式分，可以分为<b style="color:rgb(237, 35, 8);">数值比例尺</b>和<b style="color:rgb(237, 35, 8);">线段比例尺；</b></p><p class="ql-block">按将实际距离缩小还是放大分，可以分为<b style="color:rgb(237, 35, 8);">缩小比例尺</b><span style="color:rgb(1, 1, 1);">和</span><b style="color:rgb(237, 35, 8);">放大比例尺</b><span style="color:rgb(1, 1, 1);">（精密零件）。</span></p> <p class="ql-block"><b>3.应用</b></p><p class="ql-block">①求实际距离的方法：实际距离=图上距离÷比例尺</p> <p class="ql-block">②求图上距离的方法：图上距离=实际距离×比例尺</p> <p class="ql-block">3.应用比例尺画图的方法：</p><p class="ql-block">①确定比例尺。</p><p class="ql-block">②根据比例尺求出图上距离。</p><p class="ql-block">③画图。</p><p class="ql-block">④标出所画图的名称和比例尺。</p> <p class="ql-block">【拓展】国家基本比例尺</p> <p class="ql-block">比例尺的应用题</p> <p class="ql-block">比例尺综合题</p> 单元易错题摘抄 <p class="ql-block">【判断题】</p><p class="ql-block">1.比例尺的前项一定是1（❌）</p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8);">错因分析：考察比例尺的分类前项是一的比例尺是缩小比例尺，还有放大比例尺，放大比例尺的后项是1。</span></p><p class="ql-block">2.如果一幅地图的比例尺是1:500，那么图上面积与实际面积的比是1:500（❌）</p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8);">错因分析：应是图上距离与实际距离的比，是长度比而非面积之比。</span></p> <p class="ql-block">【其余题摘抄】</p> <p class="ql-block">最终算出来实际的距离，记得换算成平方米或平方千米。</p> 单元思维导图展示