六下数学第一单元圆柱与圆锥知识梳理

画堂春

圆柱和圆锥的认识

柱体与圆柱

柱、锥、台之间的内在联系及其相互转化的条件

1.圆柱与圆锥的形成

圆柱的三种形成：

1️⃣长方形绕轴旋转

2️⃣长方形卷成圆柱

3️⃣圆摞起来形成圆柱

圆锥的两种形成：

1️⃣扇形和圆卷成圆锥

2️⃣直角三角形绕直角边旋转

2.圆柱与圆锥的三视图与展开图

1️⃣三视图

2️⃣展开图

补充：圆柱展开图之铁皮问题

圆柱铁皮问题四种裁剪方式求铁皮的长和宽

补充：圆柱的侧面展开图

沿着圆柱侧面上的一条高，把圆柱侧面展开，会得到一个长方形。长方形的长等于圆柱底面周长，宽等于圆柱的高。

⚠️当圆柱侧面展开图是正方形时，圆柱底面周长=高，底面直径与高的比是1：π

⚠️圆柱侧面展开图不可能是梯形。

因为圆柱的侧面展开图上下底边长度一定相等。

3.圆柱与圆锥的特征

平面图形的特征从“点”、“边”（也就是线）、“角”要素出发去研究的。而立体图形则聚焦于“顶点”、“棱”（也就是线）、“面”等要素，从数量以及特点上进行描述。

圆柱的上下两个面叫做底面，围成圆柱曲面的叫做侧面，两个底面之间的距离叫高，圆柱有无数条高。

圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。

圆柱和圆锥都有一个曲面。

4.圆柱与圆锥的高

1️⃣圆柱的高的测量方法

2️⃣圆锥的高的测量方法

5.圆柱与圆锥的切割

圆柱的表面积

1️⃣什么是圆柱的表面积？

圆柱的表面积是指圆柱所有外表面面积的总和，由两个底面面积和一个侧面面积组成。

2️⃣圆柱表面积推导过程演示

3️⃣圆柱表面积公式：S表=2S底+S侧=2πr²+2πrh=2πr(r+h)

圆柱的侧面积公式：2πrh或πdh

⚠️圆柱高增加减少，圆柱表面积增加减少的只是侧面积。

圆柱圆锥表面积有关问题

1️⃣圆柱表面积之排烟管问题

2️⃣圆柱表面积之多层蛋糕问题

3️⃣圆柱表面积之凿洞问题

5️⃣圆锥表面积变化之切割问题

6️⃣圆柱表面积之压路机问题

圆柱的体积

1️⃣什么是圆柱的体积？

一个圆柱所占空间的大小，叫作这个圆柱的体积。

2️⃣圆柱体积的推导过程

方法一：把圆柱转化为长方体

圆柱平均分的份数越多，拼成的立体图形就越接近长方体。因为长方体的体积＝底面积×高，所以圆柱的体积＝圆柱的底面积×高

✅ 转化前后的三变三不变

三变：形状变、表面积变（增加2rh）、底面周长变（增加2r）

三不变：底面积、体积、高都不变

数学思想方法：等积变形思想。

等积变形就是把一个物体通过锻造，揉捏或重新摆放等方式变成另外一种形状的物体，但体积却没有发生变化的过程。

推导圆柱的体积计算公式时，就用到了等积变形。用等积变形思想解决问题的基本关系式是：变形前的体积等于变形后的体积。

同学们手里的学具，并不是把圆柱平均分成16等分，两处圈起来的地方合在一起才是一份，这样能让转化后的图形尽可能变成一个标准的长方体。

方法二：把圆柱看成是由无数个圆叠在一起

3️⃣圆柱体积公式

圆柱的体积=底面积×高，用字母表示V＝Sh或πr²h。

圆柱体积公式的另一种表达：

圆柱的体积＝侧面积的一半×高

圆柱体积有关的经典思维题

1️⃣斜切圆柱的体积

2️⃣圆台的体积

3️⃣圆柱瓶子倒置问题

4️⃣圆柱注水问题1

上升的（或下降)的水的体积等于放入的的物体的体积。（完全浸没）

圆柱注水问题2

圆柱注水问题3

圆柱与正比例综合题

5️⃣圆柱中最大长方体

正方体中最大圆柱问题

6️⃣圆柱体积之牙膏的秘密

圆锥的体积

圆锥体积实验操作演示

圆柱与圆锥体积的关系：

圆柱与圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥的3倍；

圆柱与圆锥等底等体积时，圆锥的高是圆柱高的3倍。

1️⃣圆柱与圆锥中的比问题

2️⃣熔铸问题：一个圆柱融化后做成圆锥，或圆柱中的溶液倒入圆锥，都是体积不变的问题，注意不要乘1/3。这里也用到了等积变形思想。

3️⃣圆柱与圆锥组合体容器求高的题目

【易错判断题】

1. 圆柱体积比与它等底等高的圆锥体积大2/3。❌（高频易错题！！！）

（单位一理解错误，说圆柱体积比圆锥体积大两倍是对的，或者说圆锥体积比圆柱小2/3是对的。）

2. 把一个正方体木块削成一个最大的圆锥，圆锥的体积正好是正方体体积的2/3。 ❌

（在一个圆柱木块里削一个最大的圆锥，结论才是2/3，而这道题应该是π/12。）

3. 两个圆柱的侧面积相等，它们的体积一定相等。 ❌

（就比如说A4纸沿着长卷和沿着宽卷，得到的圆柱体积是不一样的）

4. 一个圆柱的体积是一个圆锥体积的3倍，它们一定等底等高。 ❌

（就比如用一个橡皮泥捏圆锥，然后用三倍的橡皮泥捏一个圆柱，捏出来不一定是等底等高的。）

⚠️一个长方体与一个圆锥等底等高，长方体的体积是圆锥的3倍。✓

（这句话是对的，长方体的体积可以用底面积乘高来计算，而圆锥的体积是底面积乘高➗3，这两个立体图形又是等低等高的，所以是3倍的关系。）

5. 圆柱的表面积越大，体积就越大。 ❌

（又扁又大的饼，表面积很大，但装不了多少东西；细长的管子，表面积不大，却能装更多。）

6. 圆柱的体积比圆锥大。 ❌

（比如一节圆柱的电池和一顶圆锥形的帽子，显然帽子的体积更大）

7.一个圆柱的侧面沿高展开是一个正方形，这个圆柱的底面直径等于高。❌

（应该是圆柱的底面周长等于高）

8.过圆锥的顶点和底面直径把圆锥切成两半，切面是扇形。❌

（切面应该是三角形，而不是扇形。）

本单元常见错因

错因1️⃣：

体积单位与面积单位、长度单位错写或混淆

错因2️⃣：

在得数或单位中丢π。

如果结果是1π，写为π即可。

⚠️540π÷16π，最终结果是33.75，而非33.75π。多少π除以多少π，结果不带π。

错因3️⃣：

有关圆柱的表面积实际应用题分不清求哪些面

好习惯养成：

本单元的错误类型自己汇总，并写在每页练习册的最上方，是个值得坚持的好习惯，大家可以向这位同学学习。

【数学小背诵】

3.14×2＝6.28

3.14×3＝9.42

3.14×4＝12.56

3.14×5＝15.7

3.14×6＝18.84

3.14×7＝21.96

3.14×8＝25.12

3.14×9＝28.26

3.14×2²＝12.56

3.14×3²＝28.26

3.14×4²＝50.24

3.14×5²＝78.5

3.14×6²＝113.04

3.14×7²＝153.86

3.14×8²＝200.96

3.14×9²＝254.34

【拓展】圆柱与圆锥中的比

单元思维导图展示