解锁面积之密码

焦晓佳

当多边形的边与角遇上孩子们的奇思妙想，当公式推导碰撞生活实践，一篇篇满是童趣与严谨的数学小论文就此诞生。 在“多边形的面积”这个单元的学习中，我们欣喜地看到，孩子们没有停留在机械套用公式的层面。他们或是用方格纸动手铺量，验证平行四边形与长方形的面积关联；或是通过剪拼转化，探究三角形、梯形的面积推导逻辑；更有孩子将知识延伸到生活，测算课本封面、教室地砖的面积，让数学真正扎根于现实。 这些优秀的小论文，字里行间藏着他们的观察、思考与创造，是孩子们送给自己的成长礼物，更是数学课堂上最亮眼的风景。 为这些爱动脑、爱探索的小数学家们点赞！ 寻三角形的面积密码 王腾瑜 学三角形之前，我们先剪了一些三角形。 我们可以用三种方法来求，分别是拼接法、割补法和折叠法，这三种方法都可以求出三角形的面积。 用折叠法时，可以折成长方形，从而推理出三角我的面积。 用拼接法时我们可以用两个三角形拼成一个平形四边形。从图中我们可以看出平形四边形的底相当于三角形的底，平形四边形的高相当于三角形的高。而三角形是平形四边形面积的一半，所以要除从2，公式是底乘高除以2，字母表示s=ah÷2。所以我们从拼接法中可以求出一个三角形的面积。 如果用割补法的话，把三角形沿中线剪开，拼在别一个角上，拼成了平形四边形，可是因为平形四边形的高是三角形高的一半，所以也要÷2。 所以通过拼接法、割补法和折叠法这三种方法可知三角形的面积是底×高÷2。 探索三角形面积之美 谢沛盈 我们学过求正方形的面积、求长方形的面积。长方形的面积是长乘宽，正方形的面积是边长乘边长。那三角形的面积怎么求呢？ 如果我们要推到三角形的面积，可以用拼接法来解答 通过拼接法，我发现直角三角形可以拼成平行四边形，长方形，正方形，而钝角三角形和锐角三角形只能拼成平行四边形。 所以如果要用拼接法，把两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，因为平行四边形的面积等于底乘高，用了两个三角形，所以三角形的面积=底乘高除以二。 我们还可以用割补法。沿着三角形的高的中间分开，把被分开的三角形的顶端拼到三角形底部的后面就成了一个平行四边形。那么这是求三角形的面积就要高除以二割补法拼成了一个平行四边形，求平行四边形的面积是底乘高，所以三角形的面积公式是底乘高除以二 我明白了，三角形的面积公式就是底乘高除以二。 我想以后肯定还会有更多求三角形面积的方法。 梯形寻“积”记 颜安苒 在生活中,我们经常可以看到梯形的广告图，那么，我们该怎样算出它的面积呢？ 要推导梯形的面积公式，我们可以把它转化为熟悉的图形。如长方形、正方形、平行四边形和三角形的面积。 用两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形。这个平行四边形的底等于梯形的上底与下底的和，高等于梯形的高。因为每个梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半。所以梯形的面积等=（上底+下底）×高÷2。 我们还可以用分割法，把一个梯形分成两个三角形。 那么梯形的面积就等于三角形①的面积加三角形②的面积等于上底乘高除以2加下底乘高除以2，等于上底加下底的和乘高除2。这就是梯形的面积。 那么要求梯形的面积，需要知道上底、下底、高。 梯形面积的诞生之旅 刘一漩 我很好奇，为什么梯形的面积公式里有一个“÷2”呢？梯形的面积又是怎么被人们算出来的呢？梯形为什么有上底和下底两种底呢？带着这些问题，我打开的梯形面积诞生之旅的大门看到了梯形面积公式是怎么求出的，并且求梯形面积的不同方法，我也亲眼见证了 我们可以用拼接法来试一下，首先我们随意拿出两个完全相同的梯形，把他们拼在一起，我们会发现他们竟然变成了一个平行四边形，如果你不信那那你再拿出一个两个完全相同的直角梯形来试一下，你看这不也能拼成一个平行四边形吗？你再看这两个完全相同的等腰梯形，这不也能拼成一个平行四边形吗？但是我们要记住我们不能把梯形的底拼在一起直角梯形也是唯一一个可以拼成长方形的梯形。 我们再来看一下这个不规则的图形，你是不是会问他和梯形有什么关系？那你可要看仔细了，便你看它变成了什么对了，一个三角形和一个梯形，这下能算出来了吧。 其实它的面积有个“÷2”是因为他用新街法的是两个梯形拼在一起的，如果要求出一个梯形，那就要“÷2”了。 好了，这就是关于梯形的一点小资料了，接下来还有更多梯形的小知识，等着你哦！ 三角形寻宝记 李茗馨 今天学了三角形的面积，让我们一起来看一看吧！ 看上面这个图一个三角形，我把它分开了，分开后右边的图形到左边，你看现在他变成一个什么形状呢—哦，是一个长方形那这样我们就好算了，但最后我们记得要除以2哦。 现在我有了一个阴影部分的三角形，但是我不知道应该怎么办，我可以把这个三角形再添一个三角形变成了一个平行四边形，那我们平行四边形的面积就是底×高但是我最终的目的还是求三角形，我们可以再÷2就得到三角形的面积公式了，原来三角形面积公式是底×高÷2。 但后面我又遇到了一个困难这道题让我求高，后来我知道了，那我应该先用面积×2除以已知等底，这样我们就可以求出来了。那求底也一样×2再除以高就好了。 我知道了当我们遇到不会求的图形时，我们就可以运用割补法去求让他变成我们学过的图形。 探索三角形面积之美 李芊杭 三角形的面积十分有趣，我们一起来探索三角形面积的奥秘吧。 求三角形的面积，首先我们要知道三角形的底和高。知道底和高后，就可以用底×高÷2求三角形的面积。求三角形的面积还可以用“割补”的方法，让一个三角形变成一个平行四边形，沿三角形腰的中点剪开，拼到下边。 我们还可以用折叠法，折叠后的面积变小了，变成了一个长方形，算出了长方形的面积后再乘2，因为把三角形的三面折了下去，所以长方形的面还要乘2。那三面拼起来也可以拼成一个长方形。 我们把三角形用“割补”法和“折叠”法以后就好求了，把三角形变成平行四边形后可以用底×高，折成长方形后用长×宽×2，这样求起来就非常简单。 我希望以后会有更多的方法来求三角形的面积。 梯形面积诞生之旅 赵梓茗 你知道梯形面积怎么算吗？跟我一起去探索吧。 平行四边形与梯形有很大的关系，先用割补法来推断出梯形的面积，把梯形的高从中点分开旋转180°拼成一个平行四边形，平行四边形的面积等于底乘高。但是用梯形拼成的平行四边形高从中点分开。面积就发生了改变平行四边形上下两个底互相平行四边形。的底就等于梯形的上底和下底高除以2，所以面积也要除以2。所以梯形的面积就等于上底加下底的和乘高除以2，梯形的面积就是用平行四边形的面积推导出来的，所以梯形的面积，就是平行四边形的一半。 把两个梯形拼成一个平行四边形，这个平行四边形等于两个梯形的面积。所以这个大的平行四边形的底就是梯形的上底加下底高不变。所以用拼接法也能推算出梯形的面积。所以梯形的面积还是等于上底加下底的和乘高除以2。一两个方法推导出梯形的面积公式是一样的，所以更确定了梯形的面积公式。两个梯形的面积用拼接法就等于一个平行四边形的面积，用割补法就要除以2，所以梯形的面积就诞生了。 探究“梯形”的面积 刘恩佑 学过平行四边形与三角形的面积后，那么梯形的面积又是怎么求的呢？那么梯形的面积与三角形的面积有什么相同，又有什么不同呢？ 我们先用拼接法来试试把梯形的面积怎么求出来的。 由图①我们可以看出，两个完全相同的梯形可以拼接成一个平行四边形，那么这个平行四边形的底，等于梯形的上底加下底，平行四边形的高可以看出，也就是平行四边形的高，但是梯形与三角形一样，都是等底等高的图形的一半，那么由此可以得出，S=(a+b)×h÷2。 我们再用割补法去验证，结论是否正确。 由图②可以看出，由直角梯形变为了平行四边形，图②用的是割补法，因此这两个图形的面积是完全相等的，面积没变，那么是什么变了呢？原来是形态变了，面积公式为：(a+b)×(h÷2)，但(a+b)×(h÷2)=(a+b)×h÷2。 现在我们一起来探究三角形与梯形的面积有什么相同呢？ 这一个图虽不严谨，但可以清晰的看出，梯形可以变成三角形。那么三角形的底是梯形的什么呢？是梯形的上底加下底的和，由此可以得出，等底为l的三角形与上底加下底的和相等的图形面积相等。 最后，无论是不规则梯形，还是直角梯形，还是等腰梯形，求的面积公式都是(a+b)×h÷2。