圆与直线关系(动点与最值)

云中豹

如图，在直角三角形ABC中，AC丄BC。设BC=α，AC=b 动点在BC边上运动。连结AP，作PE丄AP，并交斜边AB于E。求AE的最小值。

从初中角度分析，考查圆与直线关系，及半园所对圆周角为直角(初三)，🔺三角形相似等综合知识。

取AE中点为o，作圆要与BC有交点，条件是oA(半径)必须大于或等于0到BC的垂直距离。故而，假设o从A点出发沿AB斜向下走，当且仅当0A=0D(0D为动点0到BC之距离)时，AE=2OA=20D=2r。构造🔺相以三角形，可求得AE最小值为:(2b√b^2+α^2]/{b十√b^2十α^2}。为清晰表达，设AB=c。

其中c=√α^2十b^2

AE(最小值)=2bc/(b+c)

当圆心0继续斜向下运动到AB中点时，E丶B重合，AE=AB取最大值。

另，本题还可由解析法解决，但复杂一些。