<p><span style="color: rgb(237, 35, 8);">如基本图: ∠MPN=α(0°＜α≤90°)，△ABC的AB边(定长)的两个端点分别在射线PM、PN上运动，在运动过程中，△ABC的大小及形状保持不变。 设AB=c, PA=m(变量).</span></p><p><span style="color: rgb(237, 35, 8);">① 求m的取值范围。</span></p><p><span style="color: rgb(237, 35, 8);"> ② 求PC的最大值。 (均用含c, α的式子表示)</span></p><p><br></p> <p><span style="color: rgb(176, 79, 187);">分析: ①任意一个三角形都有且仅有一个外接圆；②外心必在各边的中垂线上；③</span></p><p><span style="color: rgb(176, 79, 187);">由题意知: AB=c,为定长，且∠APB=α(定值)</span></p><p><span style="color: rgb(176, 79, 187);"> 由圆的 弦长公式:AB=2R*sinα, </span></p><p><span style="color: rgb(176, 79, 187);">故 R=c/(2sinα) 也保持不变。 设△PAB的外心为Q, 则QA=QB=R不变，</span></p><p><span style="color: rgb(237, 35, 8);">故: 点Q“相对于线段AB”来说，保持不变(几何位置不变性)。</span></p><p><span style="color: rgb(22, 126, 251);">若视△ ABC不动，而视点P在弦AB所对应的⊙Q的一段圆弧上运动(正如物理学上的相对运动)，其效果和原题所述完全相同。</span></p><p><span style="color: rgb(176, 79, 187);">这也充分体现了“逆向思维”、“正难则反易”等数学思想。</span></p><p><span style="color: rgb(237, 35, 8);">由前述分析知: 实际上仍转化为 “求定点(C)到⊙Q(隐形圆)的圆周上的最大距离”——</span></p><p><span style="color: rgb(237, 35, 8);">数学“化归思想”(技巧在于化双动点为单动点——回归本源)。</span></p><p><span style="color: rgb(176, 79, 187);">由于题目条件限制，AB(定长)，且A、B分别在射线PA、PB上运动，所以点A到PB的距离要满足:m*sinα≤c, 另外， 点B不能出现</span></p><p><span style="color: rgb(176, 79, 187);">在NP延长线上，故: 0＜m ≤(c/sinα)……①</span></p> <p><span style="color: rgb(237, 35, 8);">如参考图: 建立xoy平面直角坐标系，设</span></p><p><span style="color: rgb(176, 79, 187);">A(0,c), B(0,0), C(a,b).连结QA、QB、PCD等，并延长CQ交⊙Q于点P’.(P、Q、C三点共线时，PC最长) </span></p><p><span style="color: rgb(57, 181, 74);">PC(max)</span><span style="color: rgb(176, 79, 187);"> =PQ+QC </span></p><p><br></p><p><br></p><p><br></p><p><br></p><p><span style="color: rgb(22, 126, 251);">易得:点Q座标为Q[-(cotα)*c/2,c/2]</span></p><p><span style="color: rgb(22, 126, 251);"> ∴QC=0.5√(2a+c*cotα)²+(2b-c)²</span></p><p><span style="color: rgb(22, 126, 251);"> PQ=R=c/2sinα</span></p> <p><span style="color: rgb(57, 181, 74);">应用举例: 如基本图，若α=45°，Rt△ABC中，AB=12,AC⊥BC,∠ABC=30°,点A、B分别在射线PM、PN上运动， 求线段PC的最大值。</span></p><p><span style="color: rgb(237, 35, 8);">易得:点C(a,b) a=3√3, b=9.</span></p><p><span style="color: rgb(237, 35, 8);">AB=c=12, cot45°=1故</span></p><p><span style="color: rgb(237, 35, 8);">Q(-6,6), sin45°=√2/2</span></p><p><span style="color: rgb(237, 35, 8);">R=QA=6√2,</span></p><p><span style="color: rgb(237, 35, 8);">QC²=(6+3√3)²+(9-6)²=72+36√3 = 18</span></p><p><span style="color: rgb(237, 35, 8);"> (4+2√3)=18(1+√3)²</span></p><p><span style="color: rgb(22, 126, 251);">QC=3√2+3√6</span></p><p><span style="color: rgb(176, 79, 187);">PC(max)=9√2+3√6</span></p><p><br></p><p><br></p><p><span style="color: rgb(176, 79, 187);"> over！</span></p>