反比例函数图像的性质及应用

云中豹

”柏普斯”三分角的证明及应用

如基本图所示:在xoy平面直角坐标系中，y=k/x(k＞0)的图像处于第一相限的一支。直线OA经过原点，且与它交于点A. 以A为圆心，2倍AO的长为半径画弧，交y=k/x于另一点C. P是AC的中点，AC的延长线交x轴于点B, 连OP, 则:∠AOB=3∠POB.

.①请給出证明。

② 若OA=5, OP=6, 求y=k/x的K值。

如参考图①:作AG//y轴，CG//x轴，并连OG,

设A(a,k/a)、C(c,k/c),则易知:G(a,k/c), 易得

直线AC的斜率为: k1=(k/a-k/c)/(a-c)

=-k/a*c； 由对称原理:直线GP的斜率: K2=k/a*c(既:k1+k2=0),又易求:直线OG的斜率:k3=k/a*c, 所以，k2=k3

故:A、G、P三点共线(记住这种证明方法哟！)

又知:AO=AP, PA=PC=PG,∴ ∠AOP=∠APO=2∠PGC,

∵GC//x轴，∴∠PGC=∠POB

∴∠AOB=3∠POB 证毕。

(适合初二、初三)

备注:如参考图②:过P(m,n)分别作x、y轴的平行线:x=m, y=n, 若直线L1、L2经过点P

且关于x=m对称(同时也关于y=n对称)，则两直线的斜率之和为零。 (易，请自证)

更一般情况，若两直线L1、L2 关于(y=kx+b,k≠0)对称时斜率关系，请参阅“两直线夹角平分线”公式(高中解析几何)。

如参考图③:作AG⊥OB,PM⊥OB,CN⊥OB

易证:Rt△AGB~Rt△CNB(证明略)，设

A(a,k/a)、C(c,k/c),B(b,0） (其中: 0＜a＜c＜b) 易得:CB=b-c, GB=b-a, 由中点座标公式:

P[(a+c）/2,(a+c）*k/2a*c], 则M[(a+c）/2,0], CN/AG=BN/BG,

∴(b-c）/(b-a)=[(k/c）/(k/a）],整理得:

c²-a²=b(c-a), ∴b=a+c,既:OM=(a+c)/2,

OB=a+c, 又∵PM⊥OB, 所以，PO=PB.

(PB＞PC）结合:AP=AO,由三角形外角定理:

∠AOP=∠APO=2∠POB, 既:∠AOB=3∠POB. 证毕(初三)。

予备知识点:sin2α=2sinα*cosα, 如参考图④，△ABC中，AB=AC, AH⊥BC, (BH=CH） BG⊥AC,∠BAH=∠CAH=α, 则:sinα=CH/AC,

cosα=AH/AC,

由等面积转换法: BG*AC=2CH*AH

∴BG=2CH*AH/AC,

∴sin2α=BG/AC=(2CH*AH)/AC²

=2sinα*cosα(初中生证明法)

另外:sinα²+cos²α=1,

两者相加得: (sinα+cosα)²=1+sin2α

由题目所给条件，易得sin∠AOP=4/5

(易，过程略）

于是可列出:｛sinα*cosα=2/5……①；sinα+cosα=√(1+4/5）……②｝, 因为∠POB＜30°＜45°, 故:

0＜sinα＜cosα＜1(区分依据)

通过构造一元二次方程: x²-[(3√5）/5]x+2/5=0

解得:sinα=√5/5, cosα=(2√5)/5. (过程略)

所以，OM=(12√5)5, PM=(6√5）/5,

S△POM=S△PBM=36/5,

∴S△AOB=S△AOP+S△POB=12+72/5

=132/5

PO=PB=6, AB=11,

S△AGB/S△PMB=(11/6)²

∴S△AGB=121/5

∴S△AOG=11/5

∴K=2S△AOG=22/5

答案: K=22/5

解毕。