辅助图形及参数的应用

云中豹

如基本图①:△ABC中，∠BAC=24°,

∠BCA=30°,点D在AC上，且: AB=CD

求证: AB*BC=BD*AC

如参考图②: 延长CB,作AE⊥CB于点E,

易知:∠EAB=36°. 设AC=2,则:

AE=1, 这里引入参数:

tan36°=[(3-√5)*√(10+2√5)]/4

其详细求解过程见辅助图③……“黄金三角形”

则:EB=[(3-√5)*√(10+2√5)]/4

由勾股定理: AB=CD=-1+√5

∴点D是线段AC的“黄金分割点”

既: CD²=AD*AC

作等量代换并变形处理:

AB/AD=AC/AB

又∵∠DAB=∠BAC=24°(公用角)

∴△DAB∽△BAC

∴BD/CB=AB/AC

∴AB*BC=BD*AC 证毕。

如参考图③:△ABC中，AB=AC,∠BAC=36°

试求: ① BC/AB=? ②sin72°=?

③ tan36°=?

作∠ABC的平分线，交AC于点E, 另作:

AD⊥BC, BG⊥AC. 设:AB=AC=1

易证:EA=EB=CB =m.

则:EC=1-m (0＜m＜1)

△ABC∽△BCE(证明略)

∴EC/CB=CB/BA

既:(1-m)/m=m/1

m²+m-1=0 (只取正根)

解得:m=(-1+√5)/2≈0.618(黄金值)

进而易求得:AD的长(计算略)

sin72°=[√(10+2√5)]/4

cos72°=(-1+√5)/4

CE=CB*cos72°； AE=AC-EC

BE=BC*sin72°

tan36°=BE/AE(以上计算过程略)

既得所要结果。

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