梅氏定理及其应用

云中豹

如基本图(1):梅涅劳斯(简称“梅氏”)定理是这样描述的:

在任意△ABC中，F、E分别是AC、AB边上的点，且FE的延长线与CB的延长线交于点D,

则必有下式成立:

(AF/FC)*(CD/DB)*(BE/EA)=1

如参考图(2):这里由△相似法给出证明(面积转换法也可证明)

过A作AG//BC,并与DF的延长线交于点G.

易发现:△AFG∽△CFD；△AEG~△BED

(证明略)

则可列出:AF/CF=AG/CD……①

AE/BE=AG/BD……②

两式相除，消去AG并整理既得梅氏定理

记忆要点:①本例为顺时针记法；②公式中只会出现BD/CD(或倒置——逆时针记法)， 而不出现BC。 ③该定理在有关竟赛或特殊计算题目中常用。

应用例题:如下图 :

在Rt△ABC中，∠ACB=90°, D、E分别是AB、AC上的点，连结DE,则满足: ∠ABC=2∠ADE，且 BD=CE, 已知:

AC=6, BC=8, 求 BD的长。

如参考图④:延长ED,交CB的延长线于点F,

∵∠ADE=∠BDF(对頂角相等)

又∵∠ABC=2∠ADE

及:∠ABC=∠BDF+∠BFD(外角定理)

∴∠BDF=∠BFD

∴BD=BF

设 BD=CE=BF=x ； AE=y

由梅氏定理:

(y/x)*[(8+x)/x]*(x/6)=1

得:y=6x/(8+x)……①

在Rt△ABC中，由勾股定理:

8²+(y+x)²=(6+x)²

把①代入消去y并整理:

[6x/(8+x)]²－[96x/(8+x)]+28=0……②

设t=6x/(8+x) (换元法)

t²-16t+28=0

(t-2)(t-14)=0

st1: t=2时，6x/(8+x)=2；

得 x=4

st2: t=14时，x=-14(舍去)

故: BD=4

(过B作∠ABC的平分线，与过点E作AB的平行线相交…………也可求解)

完。