梯形面积的二等分点与等分线及“腰线”长公式

云中豹

如参考图①：梯形可以看作是△OBC由平行于底边(BC)的直线(AD)所截而形成的。

图甲、乙、丙分别对应于由锐角三角形、直角三角形、钝角三角形所构成的梯形，

其中，丙图俗称“一边倒”。

梯形面积的二等分是个有趣的问题，考试中也会遇到。如何去分割，如何找到相关直线或分割点呢？正是本文主题。

如参考图②，E、F分别是梯形ABCD的腰AB、CD上的动点(含端点)，且EF//AD.

设AE=λAB(0≤λ≤1). AD=b, BC=a(a＞b)

梯形高为h.

①用含a、b、λ的代数式表示“腰线”EF的长；

②确定EF在何位置(λ取何值)时.恰好把梯形ABCD分割为上、下两个等面积的小梯形？

过点A作AQ//CD,交EF于点P.

∵AD//BC(已知) ， 又∵AQ//CD

∴四边形AQCD、APFD、PQCF都是平行四边形.

∴PF=AD=b, BQ=a-b

在△ABQ中，∵EP//BQ

∴△AEP∽△ABQ

∴AE/AB=EP/BQ=λ

既：EP=λ(a-b)

EF=EP+PF=b+λ(a-b)……①

特别地：当b=0时，退化为

三角形的“腰线”长公式，二者是统一的。

当λ=1/2时，既梯形的中位线长公式：

EF*=(a+b)/2

当EF恰好把梯形ABCD分成上、下两个等面的小梯形时，则梯形AEFD的高为h’=λh(和△AEP等高)。

所以可列出：

2*[λh(b+b+λ(a-b))/2]=h(a+b)/2

化简整理(过程略)：

2(a-b)λ²+4bλ-(a+b)=0 (关于λ的二次方程)

△=8(a²+b²)＞0

所以该方程有两个不等的实数根(负根舍去)

λ=[-2b+√2(a²+b²)]/2(a-b)…………②

当b=0时，λ*=√2/2(这与把三角形分为上、下两个三角形+梯形的情况完美吻合)

这说明任意一个梯形都可以在腰部作一条平行于两底边的直线，把它(指梯形ABCD)分割成两个等面积的小梯形。

类似地，每个三角形则可作出三条平行于某边的直线，把其分割为“三角形+梯形”；

另外，其三条中线则把它分为两个等面积的三角形。

对于梯形，除了上.、下分割外，还有左、右

分割法(常考题型)

如参考图③，M、N为AD、BC的中点，易知MN把该梯形分割为左右两个等面积的小梯形。

线段MN的中点G(梯形面积的二分点)，有一个重要性质：在适当偏转角(∠MGP)下，过点G的直线PQ同样把该梯形分为左、右两个等面积的小梯形。

易证得：△MGP≌△NGQ(请同学们自证 略)

所以，减少量=增加量

故：PQ旋转时，梯形ABQP=梯形PQCD

如参考图④，以“一边倒”梯形为例在平面直角座标系下：梯形ABCD(B、O重合),其高为h,

BC＞AD [X1＞(X3-X2)＞0]

A(X2,h), B(0,0)

设C(X1,0)且X1＞0. D(X3,h)

由中点座标公式知：

M[(X2+X3)/2,h] N(X1/2,0)

∴G[(X1+X2+X3)/4,h/2]

连结AG、DG并延长分别交x轴于点P2、P1

并设P1(m,0)、P2(n,0)

反复使用中点座标公式：点G为线段AP2、DP1

的中点，

∴X3+m=2[(X1+X2+X3)/4]

∴m=(X1+X2-X3)/2=[X1-(X3-X2)]/2＞0

同理可证：m－X1=-[X1+(X3-X2)]/2＜0

这说明点P1在原点右侧，C点的左侧。

同理，可以证得点P2在P1、C之间(同学们请自证)

设直线PQ的斜率为k,直线AG、DG的斜率为k1,k2.(k1＜0；k2＞0)又知某个位置时，直线PQ⊥x轴，k不存在.(用+㏄或－㏄表示)

则：｛-㏄＜k＜K1｝∪｛K2＜k＜+㏄｝

本文涉及三角形相似、二次方程，中点座标公式、几何分类讨论，以及数学公式的同一性和兼容性。

完