米勒张角(二)

云中豹

在上篇，已经給出“米勒张角”(米勒定理)

的两种证明。

本文将对不同情况加以分类，并推导出我们所关心的如：①圆心位置 ②何种情况下，最大张角是“锐角”、“直角”、“钝角”？

③最大角θ*如何计算？

上篇给出：tanθ*=[k(b-a)]/[x+(q/x)-c]

……张角公式

其中，0＜a＜b,

q=ab/(1+k²), c=(b+a)/(1+k²)

k是动点p所在直线OM的斜率。

当x=[√ab/(1+k²)]时，取得最大张角-“米勒角”

此时 ， tanθ*=[(1+k²)k(b-a)]/｛2[√ab(1+k²)]-(b+a)｝. ……“米勒角”公式。

把a、b、k代入求值，再查反正切函数表，既可得θ*(max)……最大张角的值。

但是，如果OM⊥ON,既∠MON=90°

,此时，OM与y轴重合，其斜率不存在，也既k不存在。上述公式不适用。

不过，这种特殊情况很易单独推导。

如参考图①.设∠APB=θ*

仍用夹角公式推导：∠APX＞∠BPX

K2=tan∠APX=-a/x,

K1=tan∠BPX=-b/x

则：tanθ*=tan(∠APX-∠BPX)

=[K2-k1]/(1+k1*k2)

=[(b-a)x]/(x²+ab)

=(b--a)/[x+ab/x]……⑴

如图②

当x=√ab时，分母最小，tanθ*的值最大，

因此θ*最大……“米勒角”。

此时，taθ*=(b-a)/2√ab……⑵米勒角公式

如图②，由于OB是⊙Q的割线，而OP=√ab

满足：OA*OB=OP² [a*b=(√ab)²]

∴⊙Q与x轴(OM)相切。

　　在∠MON=90°的情况下，还可

通过计算sinθ*加以证明和推导。如参考图③

作AH⊥BP.

易证明Rt△BHA∽Rt△BOP(略)

∴AH/AB=PO/PB

而AB=b-a, po=x,

PB=√(x²+b²), PA=√(x²+a²)

∴AH=【X(b-a)】/√(x²+b²)

在Rt△AHP中

sinθ*=AH/AP=x(b-a)/【√(x²+a²)(x²+b²)】

=(b-a)/ √【x²+(a²b²/x²)+(a²+b²)】

而x²+a²b²/x²≥2ab(均值不等式)

当切仅当x=√ab时取等号

∴分母≥√(b+a)²=b+a.

此时，sinθ*=(b-a)/b+a……⑶

a＞0 ∴2a＞0 ∴a＞-a

∴(b+a)＞(b-a)＞0

∴0＜(b-a)/(b+a)＜1

在△APB中，由余弦定理：

cosθ*=【(x²+a²)+(x²+b²)-(b-a)²】/

2【√(x²+a²)(x²+b²)】

=(x²+ab)/√【(x²+a²)(x²+b²)】＞0.

∴θ*=∠APB是个锐角

arcsinx在【-1，1】上与sinx在【-π/2，π/2】的单调性相同。(反函数的性质)都是增函数。

θ*=∠APB是个锐角

∴(b-a)/(b+a)的值越大，θ*越大。

⑵、⑶式是等价的。理由：

tanθ=sinθ/cosθ

∴tan²θ=sin²θ/(1-sin²θ)

∴sin²θ=tan²θ/(1+tan²θ)

代入既可验证(略)

如参考图④，设△APB外接圆的圆心是Q. 线段AB的中垂线是L’, 垂足是H.

P(x,kx)点 在y=kx(k＞0)……直线OM上

QH=h

当⊙Q与OM相切时，OP是切线长，由切割线定理：OP²=OA*OB

∴OP²=a*b

而OP²=(x²+k²x²)=x²(1+k²)

∴x*=√【ab/(1+k²)】这和上篇推导结果一致。

P*(x*,kx*)__切点座标公式

QP⊥OM.

设:直线PQ: y=(-x/k)+t

把P*(x*,kx*)代入得: t=【(1+k²)x*】/k

y=(-x/k)+【(1+k²)x*】/k……⑴

令x=(a+b)/2

y(Q)=QH=h=[2√ab(1+k²)-(b+a)]/2k……⑵“米勒圆”圆心位置公式。

令2√ab(1+k²)=a+b

解得k*=(b-a)/2√ab……⑶

分类讨论:

①k＞k*时，h＞0,圆心Q在x轴上方。切点P在优弧区，米勒角:∠APB为锐角。

②k=k*. h=0. ∠APB为直角。

③0＜k＜k*. h＜0 ∠APB为钝角。

(圆心Q在x轴下方)

由于半径易算出，且公式较长，此处省略。

全文完