趣味数学定理

云中豹

定理

角元

塞瓦

頂点

分点

同理

边元

记法

燕尾

相乘

　　先介绍梅涅劳斯(梅氏)定理：如基本图(1)，△ABC的两边AB、AC被直线EF

所 截，并与BC的延长线相交，交点分别是：F、E、D 则满足：

(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1

记忆方法：逆时针“頂点——分点——頂点……”

转一圈。

证明方法如参考图(2)

　　过A点作AG//BC,并与DF的延长线交于点G.

∵AG//BC,∴△CDE~△AGE；

△BDF~△AGF CE/EA=DC/GA ①

AF/FB=AG/BD ②

① 、②两边分别相乘，并整理既得证。

(AF/FB)*(BC/CD)*(DO/OA)=1……②

①/②整理既得证。

方法二：△面积转换法。先介绍“燕尾定理”

如下： 参考图

在任意△ABC中，其内部有任意点o,连结AOBI并延长，交BC于点D. 则：

S△DBO/S△DCO=S△ABO/S△ACO

=BD/DC

S△ABO/S△DBO=S△ACO/S△DCO=AO/DO

调整：S△ABO/S△ACO=S△DBO/S△DCO

=BD/DC. …… “燕尾定理”

严格讲它称为“小性质”合适些。

如图，BD/DC=S△ABO/S△ACO ①

同理，CE/EA=S△BCO/S△BAO

②

AF/FB=S△CAO/S△CBO ③

①*②*③ 既得证。

(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

记忆方法：从B开始：頂点(B)→边上的分点(D)

→頂点(C)→边分点(E)→頂点(A)→分点(F)→

回到(B) 。 逆时转一圈。既：每条边上两条 线段的比值 之积等于1 . (顺时针记法也可以)。

边元ceva定理在计算线段的长或者比值、确定某直线位置等问题中，使用很方便。

上述是塞瓦定理的“边元”形式。当o在△ABC内部，且相交于一点时，还可以引出狭义的“角元”ceva定理(其逆定理也成立)。

o点不在△AB的三条边所在直线上时，有广义

的“角元ceva定理”——详见下篇……《角元塞瓦定理》 实际上，《角元塞瓦定理》是“边元塞瓦定理” 的引深，二者不完全等同。这一点必须明白。

正弦定理：在任意△ABC中，设AB=c,BC=a, AC=b . 其外接圆半径为R.

则满足： a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

利用它可以把塞瓦定理改写为“角元”

形式。这在有关角度计算题目中很方便。

为书写方便，记∠BAO=θ1, ∠OAC=θ2,

∠ACO=θ3, ∠OCB=θ4, ∠CBO=θ5,

∠OBA=θ6. (顺时针记法)分三组记忆：每组

都是 进→退些→再进

这中记法很关键，有不少同学记乱套，造成当o

在△外部，使用角元ceva定理时写错角，导致无法计算或算错，应注意。

[(BAO)→(OAC)]、再由A开头[(ACO)→(OCB)]

最后由C开头[(CBO)→(OBA)]

且暂规定∠ABC=B, ∠ACB=C ∠BAC=A

如前图，在△ABD中，AD/sinB

=BD/Sinθ1 …… ① 同理，在△ACD中，

AD/sinC=DC/sin θ2 …… ② .

①/②(两边对应相除)得：BD/DC=

sinθ1 sinC/sinθ2sinB ⑴ 同理，

CE/EA=sinθ5 sinA/sinθ6 sinC ⑵

AF/FB=sinθ3sinB/sinθ4sinA……⑶

⑴、⑵、⑶左、右分别相乘可得：

(sinθ1/sinθ2)*(sinθ3/sinθ4)*(sinθ5/sinθ6)=1

注： 如果按逆时针方向， 先求比值再求积也可以。

上述表达式为狭义ceva定理的角元形式。

另类证法：需用燕尾定理

S△ABO=0.5AB*AOsinθ1

S△ACO=0.5AC*AOsinθ2

两式相除：ABsinθ1/ACsinθ2=BD/DC⑴, 同理， CAsinθ3/CBsinθ4=AF/FB ⑵

BCsinθ5/BAsinθ6=CE/EA ⑶

以上三式称作“分角定理”

左、右分别相乘既可得证。

相比用正弦定理，简便一些。