动圆问题中的常量与变量

云中豹

　　如图①，⊙o的半径r=1,D是圆周上的一个定点，弦BC垂直平分OD,两者交于N点。E点是劣弧⌒BC上的一个动点，EF⊥BC于F点。以E为圆心，EF为半径作

⊙E, 过B、C作⊙E的切线BA、CA（切点分别是H、G），它们交于A点。

（1）求BC的长。

（2）E点运动时，∠BAC是否变化？若不变，则求其值；否则，说明理由。

（3） 当S△ABC=3√3/4时，求△ABC的周长。

解析：（1）很好求，连OB（未画出）用勾股定理易算得：BC=√3（略）。

（2）问复杂些，先复习、巩固一个小知识点，如下图②

在任意△ABC中，D是其内部任一点，连结AD、BD,作射线CD,由△的外角定理，易证得：∠ADB=∠ACB+（∠CAD+∠CBD）.…………予备知识

由图①，∠BEC=120°（定值）

理由是：定弦（BC） 对定角……圆周角定理。 又因为BA、CA是⊙E的切线，

所以E点是△ABC的内❤,∠EBC、∠ECB都在变而∠EBC+∠ECB=

60°保持不变。∠EBC=∠ABE；∠ECB=∠ACE 所以，∠ABE+∠ACE=60°也不变。∴∠BAC=120°-（∠ABE+∠ACE）=60°（定值）。

既当E点在劣弧⌒BC上运动时，∠BAC

=60°保持不变（尽管A的位置在变）。实际上

点A是在以BC为弦，圆周角∠BAC=60°的一段优弧上——其圆心恰好是D点，半径也是R=1

如下：参考图③

当A在⊙D的优弧区⌒BAC上运动时，

△ABC的面积在改变，作AP⊥BC于点P,

DM⊥AP于M点。（如下参考图④）如果給出△ABC的面积，可用下述方法计算△ABC的周长

当S△ABC=3√3/4时， AP=3/2,

AM=1, N、D、A 三点共线（D、M重合；N、P重合），△ABC是 等边三角形，周长为3√3.

若S△ABC小于（3√3）/4，可以

采用图④的方法：√3AP/2=S△ABC, 先求得AP之长（0＜AP＜3/2）,AM=AP-1/2, 再由勾股定理算出DM.

而DM=NP. 仍用勾股定理计算AB、AC的长既可。