圆幂定理

云中豹

　　涉及圆的考题，在中、高考中常出现，难度也大些。但只要基础扎实，善于归纳总结，多数常规题都可解决。

例题. 如图①，AB是⊙o的直径，C

是圆周上的一点，CD⊥AB. 且AD=9,DB=4

以C为圆心，CD为半径的⊙c交⊙o于P、Q

两点，PQ交CD于点E，则：（1）PQ=?

（2）PE*EQ=?

　　双向延长CD,分别交⊙o、⊙c于N、M点，设CE=x, 连CA.CB.（图中未画） ，∠ACB=90°

又∵CD⊥AB, 由射影定理：CD²=AD*DB

∴CD=x=6. ED=6-x. ∵AB⊥CN∴CD=DN

（垂径定理）∴EN=12-x

CM=6. ME=6+x, ME=6+x, ED=6-x.

在⊙o中，PE*EQ=CE*EN……①（相交弦定理）

在⊙c中，PE*EQ=ME*ED……②（同上）

由①、②可列出：x（12-x）=（6+x）.（6-x）, x=3.

∴PE*EQ=27.

如图③，连OC,设OC、PQ交点是F.

则：OC⊥PQ, PF=FQ.

CD/CO=6/6.5=12/13

说明：PQ是⊙c、⊙o的公共弦，它被过C、O两点的直线垂直平分。（连CP、CQ、OP、OQ通过sss定理，可证：△CPO≌△CQO. ……）

∴OC⊥PQ,且PF=FQ.

易证两个直角三角形：△CFE∽△CDO（略）

∴CF=36/13, OF=97/26

PF=√（13/2）²-（97/26）²=6√133/13

∴PQ=（12√133）/13.