两线与动等线联动时和的最小值（184）

微风

一、两线和最小值题海中的一朵浪花

1、如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°, AB=3, E, F分别是AD, BD上两个动点，且BF=DE，连接AF, CE，求AF+CE的最小值.

（一）读懂一类最小值试题的形特点

解几何最值试题，读懂图形的情景特点，很重要！很重要！

（1）从线段的视角看，图形具有二个形态特点：

①两动态线段（AF、CE）的两线性动端点（F、E）是离散形态；

②与两动端点（F、E）分别相连的线段（BF=DE）相等.

即是两离散动端点的两线（AF、CE）与动等线（BF=DE）联动的型态.

简称为：两线与动等线联动时和的最小值.

（2）以三角形的视野看，AF+CE中的一条线段，与动等线BF=DE中的一条线段，构成两个只有一个动顶点的三角形.

一个是以AF、BF为边的△AFB，

另一个是以CE、DE为边的△CED.

（二）消化吸收解此类两线和最小值试题的计谋技法

变线计谋：为把两动端点离散的两线和，转化为共动端点的折线和形态，需变线两线和中的一条线段. 所以，应以想变线的那条线段为边的三角形作为模特三角形，然后利用设置的条件等线“智造”与模特三角形全等的三角形变线.

变线技法1：若变线CE，则取以CE为边的△CED为模特三角形，并以DE定端点D处的∠EDC和边DC为模特.

然后在与DE对应相等的BF定端点B处，依次“智造”角和边等于模特角和模特边.

即如图1，

作∠FBG=模特∠EDC=60°，

作BG=模特DC=3，

又BF=DE，则连接FG，

得△GFB≌模特△CED（SAS），

∴GF=CE，

 则两动端点离散的两线和AF+CE，转化为共动端点F的折线和AF+GF.

闻香悟道：构造全等三角形，应有强烈且清晰的“模特思考”.即先确定模特三角形，再比照模特三角形中的模特角、模特边，智造对应的等角、等边.

变线技法2：若变线AF，则取以AF为边的△AFB为模特三角形，并以BF定端点B处的∠FBA和边BA为模特.

然后在与BF对应相等的DE定端点D处，依次“智造”角和边与与模特角和模特边相等.

即如图2，

作∠EDG=模特∠FBA=30°，

作DG=模特BA=3，

又BF=DE，则连接EG，

得△GED≌模特△AFB（SAS），

∴GE=AF，

∴AF+CE=GE+CE，

则两动端点离散的两线和AF+CE，转化为共动端点E的折线和GE+CE.

③求折线和的最小值.

利用菱形ABCD中已知的边、角条件和能求出的相关边、角数量，求折线和的最小值.

　　如图1，连接两定点AG，

得AF+CE=AF+GF≥AG，

∵∠ABG=∠ABF+∠FBG

=30°+60°=90°，

BA=BG=3，

∴Rt△BAG的斜边AG=3√2，

∴AF+CE的最小值为3√2.

如图2，连两定点CG，

得AF+CE=GE+CE≥CG，

∵∠CDG=∠CDE+∠EDG

=60°+30°=90°，

DC=DG=3，

∴Rt△DCG的斜边CG=3√2，

∴AF+CE的最小值为3√2.





2、锐角△ABC中，AC=10，BC=8，∠ABC=60°，点D、E分别是边AB、AC上的动点，并且满足AD=CE，求CD+BE的最小值.

辩识图形情景：

由题设的AD=CE，求CD+BE的最小值，认识到两个离散动端点D、E分别将AD和CD，CE和BE，链接成动态△ADC和动态△CEB.

∴属“两线与动等线联动"型态下的两线和最小值.

则激活三步解析思维求解.

解法1：

第一步：确定模特三角形

若变线BE，则取以BE为边的△CEB为模特三角形，并以CE定端点C处的∠ECB为模特角，CB为模特边.

第二步：智造全等三角形变线.

从与CE对应相等的AD定端点A出发，依次“智造”对应的等角和等边，

即作∠DAF=模特角∠ECB，

作AF=模特边CB=8，

又AD=CE，则连接DF，

得△ADF≌模特△CEB（SAS），

∴FD=BE，

∴CD+BE=CD+FD，

则将两动端点离散的两线和CD+BE，转化为折线和CD+FD的目标达成.

　　连接两定点CF，得CD+FD≥CD，

∴CD+BE≥CF，

第三步：求CD的长

∵∠CAF=∠CAB+∠DAF

=∠CAB+∠ECB

=180°-∠ABC

=180°-60°=120°，

∴斜△ACF可解.

作FH⊥CA的延长线于H，

得∠FAH=180°-120°=60°，

∴AH=½AF=4，HF=√3AH=4√3，

∴HC=AC+AH=10+4=14，

∴CF²=HC²+HF²=14²+（4√3）²

=4（49+12）=4×61，

∴CF=2√61，

∴CD+BE的最小值是2√61.

解法2： ①若变线CD，则取以CD为边的△ADC为模特三角形，并以AD定端点A处的∠DAC为模特角，AC为模特边.

　　②从与AD对应相等的CE定端点C出发，依次“智造”对应的等角和等边，

即过点C作CF∥AB，智造∠ECF=模特角∠DAC，

取CF=模特边AC=10，

又CE=AD，则连接EF，

得△CEF≌模特△ADC（SAS），

∴FE=CD，

∴CD+BE=FE+BE.

 则两动端点离散的两线和CD+BE，转化为共动端点E的折线和FE+BE.

　　连接两定点BF，得EF+BE≥BF，

∴CD+BE≥BF，

③∵∠BCF=∠BCA+∠ECF

=∠BCA+∠DAC

=180°-∠ABC

=180°-60°=120°，

则作BG⊥FC的延长线于G，

得∠BCG=180°-120°=60°，

∴CG=½BC=4，GB=√3CG=4√3，

∴FG=CF+CG=10+4=14，

∴BF²=FG²+GB²=14²+（4√3）²

=4（49+12）=4×61，

∴BF=2√61，

∴CD+BE的最小值是2√61.

反思：通过作平行线智造等角的解法2.稍优.



3、如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=6√2，AC=8，BC=6，点E，F分别在BC，AC边上，且AF=CE，求AE+BF的最小值．

辩识图形情景：

由两线和AE+BF中的AE、BF与动等线AF=CE联动，认识到是在“两线与动等线联动"的型态下，求两线和的最小值.

则激活三步解析思维求解.

第一步：确定模特三角形

为变线AE，取以AE为边的△CEA为模特三角形，并以CE定端点C处的∠ECA为模特角，CA为模特边.

第二步：智造全等三角形变线.

从AF的定端点A出发，作AG∥CB，智造∠FAG=模特角∠ECA，

取AG=模特边CA=8，

 又AF=CE，则连接EF，

得△AFG≌模特△CEA（SAS），

∴GF=AE，

则两动端点离散的两线和AE+BF，

转化为折线和GF+BF的目标达成.

　　连接两定点BG，得GF+BF≥BG，

∴AE+BF≥BG，

第三步：求BG的长

作BH⊥GA的延长线于H，

得∠BAH=∠ABC=45°，

则由AB=6√2，得AH=BH=6，

∴HG=AH+AG=6+8=14，

∴BG²=HG²+AH²=14²+6²

=4（49+9）=4×58，

∴CF=2√58，

∴AE+BF的最小值是2√58.



4、如图，在矩形ABCD中，AB=4, AD=6，点E是AB所在直线的一个动点，点F是对角线AC上的动点，且AE=CF，则BF+CE的最小值=▁▁▁.

辩识图形情景：

 敏锐地由题设的等线 AE=CF与BF+CE中的两线联动，认识到是在“两线与动等线联动"的型态下，求两线和的最小值.

则激活三步解析思维求解.

第一步：确定模特三角形

为了变线CE，取以CE为边的△CEA为模特三角形，并以AE定端点A处的∠EAC为模特角，AC为模特边.

　　第二步：智造全等三角形变线

从CF的定端点C出发，依次“智造”角和边，与AE定端点A处的模特∠EAC和AC相等.

由矩形ABCD知AB∥CD

∴点C处已存在∠FCD=模特∠EAC，

则延长CD至G，使CG=模特CA，

连接GF，∵CF=AE，

∴△GCF≌模特△CAE（SAS），

∴GF=CE，

 则两动端点离散的两线和BF+CE，转化为折线和BF+GF.

　　当三点B、F、G共线时，

BF+GF的最小值=BG，

∴BF+CE的最小值=BG.

第三步：求出BG的长得解.

∵矩形ABCD中，BC=AD=6，AB=4，

∴CA²=AB²+BC²=4²+6²=52，

∴CG²=CA²=52，

∴BG²= BC²+CG²=6²+52=88，

∴BG=2√22，

∴BF+CE的最小值为2√22.



5、如图，AD为等腰△ABC的高，AB=AC=5，BC=3，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE=CF，则BF+CE的最小值为▁▁▁ ．

辩识图形情景：

认识到有两离散动端点F、E的两线BF、CE与动等线AE=CF联动.

则是“两线联动等线"型态的两线和最小值试题.

那么，激活三步解析思维求解.

第一步：确定模特三角形

若变线AE，则取AE为边的△AEC为模特三角形，并以CE定端点C处的∠EAC为模特角，CA为模特边.

第二步：智造全等三角形变线.

从与AE对应相等的CF定端点C出发，

作CG∥AD，得∠FCG=模特角∠EAC，

作CG=模特边AC，

又CF=AE，则连GF，

得△CFG≌模特△AEC，

∴GF=CE，

　　连接两定点BG， 得BF+GF≥BG，

∴BF+CF≥BG，

第三步：求出BG的长得解.

∵AD⊥BC，CG∥AD，

∴∠BCG=∠ADB=90°，

∴BG²=BC²+CG²=3²+5²=34，

∴BG²=√34，

∴BF+CE的最小值为√34.



6、在等边△ABC中，AB=4，点E在边BC上，点F在∠ACB的角平分线CD上，CE=CF，则AE+AF的最小值为▁▁▁ ．

　　由题设的CE=CF与AE+AF中的两线联动，辩识到是在“两线与动等线联动"的型态下，求两线和的最小值.

则激活三步解析思维求解.

第一步：确定模特三角形

若变线AF，则取以AF为边的△CFA为模特三角形，并以CF定端点C处的∠FCA为模特角，CA为模特边.

　　第二步：智造全等三角形变线

从与CF对应相等的CE定端点C出发，

作∠ECG=模特∠FCA=30°，

作CG=模特CA=4，

连接GE，∵CE=CF，

∴△CEG≌模特△CFA（SAS），

 ∴GE=AF，

 则两动端点离散的两线和AE+AF，转化为折线和AE+GE.

　　连接两定点AG，

得AE+GE≥AG，

∴AE+AF≥AG，

第三步：求线段AG的长

∵∠ACG=∠ACB+∠ECG

=60°+30°=90°，

∴等腰直角△BAG的斜边AG=4√2，

∴AE+AF的最小值为4√2.





7、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°, AB=10，点E、F是线段AB上的动点，且满足 AE=BF，连接CE和CF，求CE+CF的最小值.

　　因为是在AE=BF的动等线条件下，求CE+CF的最小值，所以，属“两线与等线联动"型态下的两线和最小值.

则激活三步解析思维求解.

第一步：确定模特三角形

为变线CF，取△CFB为模特三角形，并以BF定端点B处的∠FBC为模特角，CB为模特边，

第二步：智造全等三角形变线

过AE的定端点A作AD∥BC，

得∠DAE=模特∠CBF，

取AD=模特边BC，又AE=BF，

∴△AED≌模特△BFC，∴DE=CF，

∴离散动端点的两线和CE+CF，转化为折线和CE+DE，

　　连接两定点CD，得CE+DE≥CD，

 ∴CE+CF≥CD，

第三步：求线段CD的长.

∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=90°，

又AD=BC，AC=CA，

∴Rt△ADC≌Rt△CBA，

∴CD=AB=10，

所以，CE+CF的最小值=CD=10.



反思：因此类最小值试题有两个可供选择的模特三角形.所以，还有如下解法2.

第一步：确定模特三角形

为变线CE、取△CEA为模特三角形，并以AE定端点A处的∠EAC为模特角，AC为模特边.

第二步：智造全等三角形变线.

从与AE对应相等的BF定端点B出发，

　作BG∥AC，得∠FBG=模特∠EAC

取BG=模特AC，又BF=AE，

∴△GFB≌模特△CEA，∴GF=CE，

∴离散动端点的两线和CE+CF，转化为折线和GF+CF，

　　连接两定点CG，得GF+CF≥CG，

 ∴CE+CF≥CG，

第三步：求线段CG的长.

∵BG∥AC，∴∠CBG=∠ACB=90°，

又BG=AC，BC=CB，

∴Rt△BCG≌Rt△CBA，

∴CG=AB=10，

所以，CE+CF的最小值=CG=10.





8、如图，等边△ABC内部有一点D，DB=3，DC=4，∠BDC=150°，在AB、AC上分别有一动点E、F，且AE=AF，则DE+DF的最小值是▁▁▁.

　　因为是在AE=AF的动等线条件下，求DE+DF的最小值，所以，这是在“两动态线与动等线联动"的型态下，求两线和DE+DF的最小值”.

则需选定模特三角形后，画全等三角形变换一条动态线.

第一步：确定模特三角形

为变线DE，连接AD，得模特△AED，

第二步：以旋转法智造全等三角形变线

将模特△AED绕点A逆时针旋转60°得到△AFG，

智造出△AFG≌模特△AED，

∴GF=DE，

∴DE+DF=GF+DF，

　　连接DG，得GF+DF≥DG，

∴DE+DF≥DG，

第三步：求DG的长

　　注意到有计算源条件DB=3，CD=4，∠BDC=150°，

则由△DBC得∠DBC+∠DCB=30°，

由等边△ABC得∠ABC+∠ACB=120°，

∴∠DBE+∠FCD=（∠ABC+∠ACB）

-（∠DBC+∠DCB）

=120°-30°=90°，

　　那么，连接GC，由△AFG≌△AED，得AG=AD，∠GAC=∠DAB，

又AC=AB，∴△ACG≌△ABD，

∴∠GCF=∠DBE，

∴∠GCD=∠GCF+∠FCD

=∠DBE+∠FCD

=90°，

∵直角△GCD中，DF=4，DG=3，

∴斜边DG=5，

∴DE+DF的最小值为5.



反思：因为此类最小值试题有两个可供选择的模特三角形.所以，本题也可变线DF，取△AFD作为模特三角形，同理可解.

9、如图，在Rt△ACB中，BC=2，∠ACB=90°，∠A=30°，点D为AC的中点，点E为边AB上一动点，连接CE，将点E绕点A顺时针旋转60°得到点F，连接DF，求CE+DF的最小值．

　　由条件“点E绕点A顺时针旋转60°得到点F”，得知AE=AF，

觉察到CE、DF的离散线性动端点E、F分别与AE、AF相连，

∴是在“两线与等线联动"的型态下，求两线和CE+DF的最小值.

则激活三步解析思维求解.

第一步：确定模特三角形

为变线CE，取△AEC为模特三角形.

第二步：用旋转法智造全等三角形变线

将模特△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，

那么△AFG≌模特△AEC，∴GF=CE，

 则两离散动端点的两线和CE+DF，

转变为折线和GF+DF，

∵GF、DF在直线AF的同侧，

则需施以“同侧变异侧”的变线.

∵∠DAF=30°+60°=90°，∴FA⊥DA，

在Rt△ACB中，∠CAB=30°，BC=2，∴AC=2√3，∵D是AC的中点，

∴AD=√3，

 延长DA至D′，使AD′=AD=√3，

连接FD′，得D′F=DF，

连接两定点GD′，得GF+D′F≥GD′，

∴ CE+DF=GF+D′F≥GD′，

第三步：求线段GD′的长

由智造的△AFG≌△AEC，得AG=AC，∠FAG=∠EAC=30°，

∴∠CAF=∠DAF-∠FAG

=90°-30°=60°，

连CG，得等边△AGC，

连GD，得GD⊥AC于D，

∴GD=√3AD=3，

∴直角△DGD′中，

GD′²=DD′²+GD²=（2√3）²+3²=21，

∴GD′=√21，

∴CE+DF的最小值=GD′=√21.





二、镶嵌在函数图象中的此类两线和的最小值

10、（2022年甘肃）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=¼（x+3）（x-a）与x轴交于A，B（4，0）两点，点C在y轴上，且OC=OB，D，E分别是线段AC，AB上的动点（点D，E不与点A，B，C重合）．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）连接BD、CE，当CD=AE时，求BD+CE的最小值．

(1)．抛物线 y =¼( x +3)( x - a ）与 x 轴交于 点B (4,0），

∴¼(4+3)(4- a )=0, 解得 a =4,

: y =¼( x +3)( x -4)=¼x²- ¼x -3,

即抛物线的表达式为 y =¼x²- ¼x -3;

（2）∵是离散动端点的两线BD、CE与动等线CD=AE联动的形态，

　　则激活三步解析思维求解.

第一步：确定模特三角形

为变线CE，取以CE为边的△AEC为模特三角形，并以∠EAC为模特角，AC为模特边.

　　第2步：智造全等三角形变线

作GG∥AB，得∠DCG=模特∠EAC

取CG=模特AC，又CD=AE，

则连GD，得△CGD≌模特△AEC，∴DG=CE，

连接两定点BG，得BD+DG≥BG

∴BD+CE≥BG，

　　第三步：求出BG的长得解.

由y=¼x²-¼x-3得点A（-3，0），

∴OA=3，

又点B为（4，0），∴OC=OB=4，

∴AC=5=CG，

　　作BH⊥GC的延长线于H，

由易知的正方形OBHC，

得CH=BH=OB=4，∴GH=5+4=9，

∴BG²=GH²+BH²=9²+4²=97，

∴BG=√97，

∴BD+CE的最小值是√97.

反思：二次函数在解题中的作用，只是提供点坐标.

11、（2023年天水）如图，抛物线y=-x²+bx与x轴交于点A，与直线y=-x交于点B（4，-4），点C（0，-4）在y轴上．点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．

（1）求抛物线y=-x²+bx的表达式；

（易得y=-x²+3x）.

（2）连接BQ，PC，求CP+BQ的最小值．

∵点P、点Q同时出发，速度相同，

∴BP=OQ是动等线，又两线和 CP+BQ的动端点P、Q是离散形态．

∴是在“两线与动等线联动"的型态下，求两线和CP+BQ的最小值.

则激活三步解析思维求解.

第一步：确定模特三角形

为变线CP，连BC，得以CP为边的模特△BPC

由点B（4，-4）、点C（0，-4），

得OC=模特边BC=4，

模特角∠QBC=45°，∴OB=4√2，

第二步：智造全等三角形变线

从与BP对应相等的OQ定端点O出发，

作∠QOD=模特∠PBC=45°，

取OD=模特BC=4，

又OQ=BP，则连DQ，

得△OQD≌模特△BPC，∴DQ=CP，

∴CP+BQ=DQ+BQ，

连接两定点DB，得DQ+BQ≥GB，

∴CP+BQ≥GB，

第三步：求DB的长

∵∠DOB=45°+45°=90°，

∴Rt△ODB中，DB²=OD²+OB²

=4²+（4√2）²=48，

∴DB=4√3，

∴CP+BQ的最小值是4√3.



12、（2023年孝感）已知抛物线y＝−½x²+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2）．点P为第一象限抛物线上的点，连接CA，CB，PB，PC．

（1）直接写出结果；b=▁▁ ，c= ▁▁，点A的坐标为▁▁▁ ，tan∠ABC=▁▁ ；

（2）略；

（3）如图，点D在y轴负半轴上，OD=OB，点Q为抛物线上一点，∠QBD=90°．点E，F分别为△BDQ的边DQ，DB上的动点，且QE=DF，求BE+QF的最小值.

(1）由点 B (4,0), C (0,2),

易得抛物线解析式为：

y =-½x +3/2 x +2,

∴抛物线 与 x 轴交于 A (-1,0),

∵OB=4, OC =2,

Rt△COB中，tan∠ ABC =OB/OC=½

（2）认识到两线和BE+QF的离散动端点E、F与动等线QE=DF相连，

∴是在“两线与动等线联动"的型态下，求两线和BE+QF 的最小值.

则激活三步解析思维求解.

第一步：确定模特三角形

为变线BE，取△QEB为模特三角形，并以点Q处的∠EQB为模特角，QB为模特边，

第2步：智造全等三角形变线

从点D出发，作∠FDG=模特∠EQB，

取DG=模特QB，又DF=QE，

则连FG，得△FDG≌模特△EQB，

∴GF=BE，

∴BE+QF=GF+QF，

∵当三点G、F、Q共线时，

GF+QF的最小值=GQ，

∴BE+QF的最小值=GQ，

第三步：展开计算思维，求QG的长.

要求QG的长，需先求出抛物线y=-½x +3/2 x +2上点Q的坐标，然后利用点Q的坐标去求出相关线段的长.

∵OB=OD=4，∴∠OBD=45°，

∵∠QBD=90°，∴∠QBO=45°，

作QN⊥OB于N，得NB=NQ，

设点Q为（a，-½a²+3/2 a+2），

得NB=OB-ON=4-a，

NQ=-½a²+3/2 a+2），

∴-½a²+3/2 a+2=4-a，

解得a₁=1，a₂=4，∴点Q为（1，3），∴NB=NQ=3，QB=√2NQ=3√2=DG，

作QM⊥y轴于M，

得OM=NQ=3，OM=a=1，

∴MD=3+4=7，∴DQ²=7²+1²=50，

∵∠QDG=∠QDB+∠FDG

=∠QDB+∠EQB

=180°-∠QBD

=180°-90°=90°，

∴△DQG是直角三角形，

∴QG²=DQ²+DG²=50+（3√2）²=68，

∴QG=2√17，

∴BE+QF的最小值是2√17.





下列试题的解析，见后文.

三、两线和最小值“套装”的问题

13、如图， AD 是等边三角形 ABC 的高， AB =√3+1， E , F 分别为线段 AD , AC 上动点，且 AE = CF ,

（1） BF + CE 最小值为

（2）当 BF + CE 最小时， AE =▁▁；∠AFB =▁▁▁.

14、如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=2，D、E分别是三角形边AB、AC上的动点，且AD=CE，连接BE，CD．

（1）求BE+CD的最小值；

（2）当BE+CD的值最小时，

① AE=▁▁▁；

②△CBE的面积=▁▁▁；

③tan∠CBE=▁▁▁.

15、（2022年遵义填选压轴题）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，点M，N分别为BC，AC上的动点，且AN=CM，AB=√2．当AM+BN的值最小时，CM的长为 ▁▁▁．

16、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=3，点D，E分别为边BC，AC上的动点，且AE=CD，当AD+BE的值最小时，求CE的长.

17、如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC三个顶点在坐标轴上，∠BAC=90°，点D，E分别为BC，AC上的两个动点，且AE＝CD，AC＝2√2．当AD+BE的值最小时，则点D的坐标为_________ ．

18、如图，抛物线y=﹣x²+x+2与x轴交于A , B ，与y轴交于点C，P为抛物线上一点，OP与线段BC交于点E，点F在x轴正半轴上， CE=BF，则OE+CQ的最小值=▁▁▁，此时点F的坐标为▁▁▁.

19、如图（1），在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，边BC上的点D从顶点C出发，向顶点B运动，同时，边AC上的点E从顶点A出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x=AE，y=AE+CD，y关于x的函数图象如图（2），图象过点（0，6），则图象最低点的坐标是▁▁▁▁ .

20、（2021年武汉）如图（1），在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x=AD，y=AE+CD，y关于x的函数图象如图（2），图象过点（0，2），则图象最低点的横坐标是▁▁. ．

21、如图1，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠BAC=60°, AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，点F是AD上的一个动点，将AF沿AB翻折，得到AG .设 AF=x , CF+EG=y, y关于x的函数图象如图2所示，则函数图象最低点的纵坐标为▁▁▁.

22、在△ABC中，∠ABC=45°，∠CAB=30°，BC=6，E是线段AB上一动点，连接CE．将△CEB沿CE翻折至△CEB′，连接AB′．D是线段AC上的点，且AD=BE，当CE+BD取得最小值时，求AB′的长.

23、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=84°，点M为AC上一动点，在BC上取点N，使CN=AM，连接AN，BM，当AN+BM的值最小时，求∠ANC的度数 .

24、如图，在等边△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，且DE=BD．点N为AB边上一点，连接BE，AN=BE．若CN+CE的值最小时，∠NCE的度数为▁▁▁ °