几何模型系列(12)——一线三直角模型应用之二

数学寻梦人

<p class="ql-block">问题：在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为边DC上一动点(不与D、C重合)，把△ADE沿AE折叠当点D的对应点D'落在矩形ABCD的对称轴上时，求DE的长.</p> <p class="ql-block">折叠有关重要结论</p><p class="ql-block">1.对应边和对应角相等——直角结构</p><p class="ql-block">2.折痕垂直平分对称点连接线段——出十字全等或相似模型</p><p class="ql-block">3.角平分线——结合平行</p><p class="ql-block">4.等腰三角形——含隐圆</p> <p class="ql-block">思维模式</p><p class="ql-block">1.确定动点位置</p><p class="ql-block">由折痕一定一动，对称点的轨迹是隐圆(定点定长)，结论的对称轴即边垂直平分线与隐圆轨迹的交点确定对称点的位置.且由不同的对称轴进行分类.</p><p class="ql-block">2.解决问题求线段长长度</p><p class="ql-block">由直角结构构造一线三直角，利用相似三角形或勾股定理或三角函数构建方程模型求线段长.</p> <p class="ql-block">思维路径</p><p class="ql-block">环节一:确定动点位置</p><p class="ql-block">1.①轨迹:以A为圆心AD长为半径作圆与AD或BC的垂直平分线即对称轴的两个交点为对称点D′的位置.</p><p class="ql-block">②连接DD′作DD′的垂直平分线与射线AD的交点是动点E的位置.</p> <p class="ql-block">环节二:解决问题求线段长</p><p class="ql-block">情况一:当点D′落在在AD的垂直平分线上时</p><p class="ql-block">2.①折叠得边角相等</p><p class="ql-block">由折叠可得AD′＝AD＝5，D′E＝DE，∠AD′E＝∠D＝90°</p><p class="ql-block">②选择直角三角形</p><p class="ql-block">在Rt△ADH'中，AD'＝5，D'H＝5/2</p><p class="ql-block">由勾股定理可得AH＝5√3/2.</p><p class="ql-block">由三角函数可得∠DAH＝30°</p><p class="ql-block">方法一:利用一线三直角相似模型</p><p class="ql-block">易证△D′GE和△AHD′相似</p><p class="ql-block">D′E/AD′＝D'G/AH</p><p class="ql-block">可求DE＝D′E＝5√3/3</p><p class="ql-block">方法二:勾股定理</p><p class="ql-block">在Rt△D′GE中，设D′E＝DE＝x</p><p class="ql-block">构建方程模型x²＝(5√3/2-x)²+25/4</p><p class="ql-block">解得x＝5√3/3</p><p class="ql-block">方法三:十字相似模型</p><p class="ql-block">易证△ADE和△DGD′相似</p><p class="ql-block">可得AD/DG＝DE/D′G</p><p class="ql-block">可求AE＝5√3/3</p><p class="ql-block">注:折痕与对称点连线构成的十字模型是折叠中容易被遗忘的方法.</p><p class="ql-block">方法四：30°的直角三角形</p><p class="ql-block">由折叠可得∠DAE＝30°</p><p class="ql-block">因此DE＝AD/√3＝5√3/3.</p><p class="ql-block">情况一中方法四是最简约之法——特殊的直角三角形.</p> <p class="ql-block">环节二:解决问题求线段长</p><p class="ql-block">情况二:当点D′落在BC的垂直平分线上且在BC上方时</p><p class="ql-block">2.①折叠得边角相等</p><p class="ql-block">由折叠可得AD′＝AD＝5，D′E＝DE，∠AD′E＝∠D＝90°</p><p class="ql-block">②选择直角三角形</p><p class="ql-block">在Rt△ADH'中，AD'＝5，AH＝4</p><p class="ql-block">由勾股定理可得D'H＝3.</p><p class="ql-block">则D'G＝2</p><p class="ql-block">方法一:利用一线三直角相似模型</p><p class="ql-block">易证△D′GE和△AHD′相似</p><p class="ql-block">D′E/AD′＝D'G/AH</p><p class="ql-block">可求DE＝D′E＝5/2</p><p class="ql-block">方法二:勾股定理</p><p class="ql-block">在Rt△D′GE中，设D′E＝DE＝x</p><p class="ql-block">构建方程模型x²＝(4-x)²+4</p><p class="ql-block">解得x＝5/2</p><p class="ql-block">因此DE＝5/2</p><p class="ql-block">方法三:十字相似模型</p><p class="ql-block">易证△ADE和△DGD′相似</p><p class="ql-block">可得AD/DG＝DE/D′G</p><p class="ql-block">可求DE＝5/2</p><p class="ql-block">注:折痕与对称点连线构成的十字模型是折叠中容易被遗忘的方法.</p> <p class="ql-block">怎样排除第三种情况——点D'落在BC垂直平分线上且在BC下方时.</p><p class="ql-block">方法1：由对称点D'的运动轨迹是隐圆弧.若点E与点C重合时，作点D关于AC的对称点D'落在BC垂直平分线的右侧，当点D'落在BC垂直平分线且BC下方时则点E在DC延长线上.</p><p class="ql-block">因此不存在这一情况.</p><p class="ql-block"><br></p> <p class="ql-block">环节二:解决问题求线段长</p><p class="ql-block">情况二:当点D′落在BC的垂直平分线上且在BC上方时</p><p class="ql-block">2.①折叠得边角相等</p><p class="ql-block">由折叠可得AD′＝AD＝5，D′E＝DE，∠AD′E＝∠D＝90°</p><p class="ql-block">②选择直角三角形</p><p class="ql-block">在Rt△ADH'中，AD'＝5，AH＝4</p><p class="ql-block">由勾股定理可得D'H＝3.</p><p class="ql-block">则D'G＝2</p><p class="ql-block">方法一:利用一线三直角相似模型</p><p class="ql-block">易证△D′GE和△AHD′相似</p><p class="ql-block">D′E/AD′＝D'G/AH</p><p class="ql-block">可求DE＝D′E＝5/2</p><p class="ql-block">方法二:勾股定理</p><p class="ql-block">在Rt△D′GE中，设D′E＝DE＝x</p><p class="ql-block">构建方程模型x²＝(4-x)²+4</p><p class="ql-block">解得x＝5/2</p><p class="ql-block">因此DE＝5/2</p><p class="ql-block">方法三:十字相似模型</p><p class="ql-block">易证△ADE和△DGD′相似</p><p class="ql-block">可得AD/DG＝DE/D′G</p><p class="ql-block">可求DE＝5/2</p><p class="ql-block">注:折痕与对称点连线构成的十字模型是折叠中容易被遗忘的方法.</p> <p class="ql-block">环节二:解决问题求线段长</p><p class="ql-block">情况二:当点D′在BC下方时</p><p class="ql-block">2.①由折叠可得AD′＝AD＝5，D′E＝DE，∠AD′E＝∠D＝90°</p><p class="ql-block">②在Rt△AHD′中，AH＝4</p><p class="ql-block">由勾股定理可得D′H＝3，D′G＝8</p><p class="ql-block">方法一:利用一线三直角相似模型</p><p class="ql-block">易证△D′GE和△AHD′相似</p><p class="ql-block">D′E/AD′＝D′G/AH</p><p class="ql-block">可求DE＝D′E＝10</p><p class="ql-block">方法二:勾股定理</p><p class="ql-block">在Rt△D′GE中，设D′E＝DE＝x</p><p class="ql-block">构建方程模型x²＝(x-4)²+64</p><p class="ql-block">解得x＝10</p><p class="ql-block">方法三:十字相似模型</p><p class="ql-block">易证△ADE和△DGD′相似</p><p class="ql-block">可得AD/DG＝DE/D′G</p><p class="ql-block">可求DE＝10</p><p class="ql-block">注:折痕与对称点连线构成的十字模型是折叠中容易被遗忘的方法.</p><p class="ql-block">因为DE＝10，CD＝8，DE＞CD</p><p class="ql-block">所以不存在这一情况.</p><p class="ql-block">因此AE＝5/2或5√3/3.</p> <p class="ql-block"><a href="https://www.meipian.cn/4thd6ndl" target="_blank">折叠问题系列(5)——特殊点之垂直平分线</a></p>