正方形与特殊角（45°）问题思维方法研究

数学寻梦人

问题：如图，在正方形ABCD中，AB=2√5，点E、F分别是边BC和CD的中点，连接AE，点G是AE上一点，且∠EGF=45°，求AG的长

【阅读问题，提炼条件】

1.点E、F分别是边BC和CD的中点；2.∠EGF=45°

【思维突破】

本问题是以正方形为背景的特殊角即45°角的存在性问题，而解决问题的思维方向有3个：构造等腰直角三角形，半角模型，角平分线模型，借助全等，相似，三角函数或勾股定理建构方程模型求解线段长度.

【思维路径】

方法一：利用半角模型

环节一：半角模型

1.作AH∥GF交CD于点H，连接EF——构造半角结构

2.由半角结构可证EH=BE+DH——利用旋转全等或手拉手

3.在Rt△CEH中设DH=a,则（x+√5)²=(2√5-x)2+5解得x=2√5/3——勾股定理

环节二：两组相似三角形

4.作GM⊥AD于M，设AM=m,则MG=2m——△ABE和△GMA相似

可得GH=HF=√5/3，MN=2m-√5/3

5.构建方程m/2√5＝(2m-√5/3)/(2√5/3)，解得m=√5/5——△AMN和△ADH相似

6.因此在Rt△AMN中，AG=1——勾股定理

方法二：利用半角模型

环节一半角模型

1.作GM⊥CD，过G点作AB的平行线KQ，得正方形GQNM，——构造半角结构

2.由半角结构可证FH=MF+QH——利用旋转全等或手拉手

环节二：利用相似一路表示线段长

3.在Rt△AKG中设DH=a,则KG=2a，GM=GQ=2√5-a,QH=NH =√5-0.5a——相似

MF=√5-2a,NF=√5+a,FH=2√5-2.5a

环节三：利用勾股定理建构方程

4，在Rt△FHN中建立方程（2√5-2.5a)²=（√5-0.5a)²+（√5+a)²,解得a=√5/5——勾股定理

5.因此在Rt△AMN中，AG=1——勾股定理.

方法三：构造等腰直角三角形

环节一构造等腰直角三角形

1.作FH⊥GF，交AE延长线于点H——构造等腰直角三角形

2.作GM⊥CD于点M作HN⊥CD于点N交AB延长线于点O，作GQ⊥AD——构造一线三直角

3.证△GMF≌△FNH可得GM=FN，MF=HN——

条件：∠GMF=∠FNH=90°，∠MGF=∠NFH，GF=FH

环节二：利用相似一路表示线段长

3.在Rt△AQG中设AQ=a,则GQ=2a，GM=FN=2√5-a,MF=NH =√5-2a——相似和全等

OA=3√5-a,OH==√5+a,FH=√5+a

环节三利用相似构建方程

4.由△ABE和△AOH相似可得3√5-a=2(√5+a)解得a=√5/5

5.因此在Rt△AMN中，AG=1——勾股定理

方法四：构造等腰直角三角形

环节一构造等腰直角三角形

1.作EH⊥GE，交GF延长线于点H——构造等腰直角三角形

2.作GM⊥BC于点M交AD于K，作HN⊥BC于点N——构造一线三直角

3.证△GME≌△ENH可得GM=EN，ME=HN

条件：∠GME=∠ENH=90°，∠MGE=∠NFH，GE=EH

环节二：利用相似一路表示线段长

4.在Rt△AQG中设AK=a,则GK=2a，GM=EN=2√5-2a,ME=NH =√5-a——相似和全等

环节三利用相似构建方程

5.作GQ⊥CD，HP⊥CD，则GQ=2√5-a，QF=√5-2a,PH =CN =√5-2a,PF =a——构建8字型相似模型

6.由△GQF和△HPF相似可得(2√5- a)/(√5-2a)＝(√5-2a)/a，解得a1=√5/5，a2=√5（舍去）

7.因此在Rt△AMN中，AG=1——勾股定理

方法五：构造角平分线

环节一：

1.作GN⊥AE交CD延长线于点N，延长AE和DC交于点M——构造角平分线

2.证△ABE≌MCE可得CM=AB=2√5，MF=3√5——中点结构

3.证△MGN和△ABE相似，可得MG=2NG——8字型相似

环节二：角平分线性质

4.由∠MGF=∠NGF=45°则MG/NG＝MF/NF因此NF=3√5/2

5.可求MG=2NG=9——勾股定理

环节三

6.在Rt△ADM 中，AM=10——勾股定理

7.因此在Rt△AMN中，AG=1——勾股定理

方法六：构造一线三等角(45°)

环节一

1.过G点作PQ⊥BC于点P交AD于点Q，作FH⊥PQ于点H；

2.在直线PQ上点H的上方截取HM＝HF，P点下方截取PN＝PE，连接MF＝NE——构造一线三等角

环节二：相似建构方程模型

3.证△FGM和△GEN相似，可得GM/EN＝MF/NG；

4.设AQ＝m由△ABE和△GQA和△GPE相似

可得GQ＝2m，GP＝2√5-2m，NP＝PE＝√5-m，HM＝HF＝2√5-m，

则MG＝√5+m，MF＝√2(2√5-m)，GN＝3√5-3m，NE＝√2(√5-m)

可得方程

(√5+m)/√2(√5-m)＝√2(2√5-m)/(3√5-3m)

解得m＝√5/5

在Rt△AGQ中，AG＝1——勾股定理

方法七：构造一线三等角(45°)

环节一

1.过G点作BC的平行线交CD于点H交AD于点Q，作EK⊥GH于点K，作GQ⊥AD于点Q；

2.在直线GH上点H的右侧截取HN＝HF，K点左侧截取KM＝KE，连接ME＝NF——构造一线三等角

环节二：相似建构方程模型

3.证△EGM和△GFN相似，可得GM/FN＝ME/NG；

4.设AQ＝m由△ABE和△GQA和△GPE相似

可得GQ＝2m，GH＝2√5-m，NH＝HF＝√5-2m，KM＝KE＝2√5-2m，

则MG＝√5-m，ME＝√2(2√5-2m)，GN＝3√5-3m，NF＝√2(√5-2m)

可得方程

(√5-m)/√2(√5-2m)＝√2(2√5-2m)/(3√5-3m)

解得m1＝√5/5，m2＝√5(舍去)

在Rt△AGQ中，AG＝1——勾股定理