<p class="ql-block" style="text-align: center;"><a href="https://www.meipian.cn/3d1ovhb4?share_from=self" target="_blank" style="color: rgb(255, 138, 0);"><b>朗读数学——盲算与口述心算</b></a></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">数学这个东西，咱们把它切开，分成两部分。</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">一部分不妨称作“本体”，另一部分称“表象”。</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">粗略理解起来，把前者理解成“内容”，后者理解成“形式”。</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">这么说没用…还得再说，看我能不能把事情再讲清楚一点点…</p><p class="ql-block"><br></p> 在寂微的引述中，有一句话：“数学是一种直觉的科学，和其他所有学科都不同。”我觉得，这句引言的前半部分是正确的；后半部分值得商榷。这个先不去说它；几乎我们所有的人都知道，数学代表着严谨、理性和逻辑。<br><br>怎么可能一个东西，既是“直觉”的，又是“严谨逻辑”的呢？只能是这个东西，分成不同的两个部分。一个部分是“直觉”的，另一个部分是“严谨逻辑”的。<br><br>我自己当学生的时候，数学不好…不好的至少一个原因，就是我喜欢瞎琢磨。别的科目，我都能琢磨出个子丑寅卯，唯独数学这个科目，当年，我就没琢磨明白过。<br><br>有好多这种案例，现在还记得。印象最深的：我看着那些典型的数学解法，就在想：当初，那些先人们是怎么想出这么个解法呢？<br><br>拿到一道几何题，我逼着自己花好多好多时间，希望靠自己琢磨，把它证明出来…好像，每一种我能想到的可能我都试过了，可是，仍然毫无头绪…看一眼答案，我就震惊：我自己怎么就没想到这么填辅助线？<div><br>为了应试，我练熟了很多典型题目的典型算法。可是，当我遇到一道新的题目，怎么也看不出该套哪种算法的时候，就不由自主地开始想：我怎么才能想出一个通用的法子，让一道新题来了，马上就能找到该套哪种算法…些课题，自然都毫无结果。我对数学，自然也就毫无感觉。</div><div><br>拿现在的高度看回去，当年的我，实在是没有在头脑中构建起数学的“内容”。我拿着“形式”的技能，茫然不知所向。</div><div><br>能够原创出新的解法、能够一眼就看出一道题里的弯弯绕绕、能够在方法论的层面给出通用的解题指南…做到这些，是需要头脑中先有一个“图景”或者说“模型”或者说“图式”或者说什么什么，这些称作“图景” “模型” “图式”的东西，就是数学的“本体”…它的本质是“直觉”的！</div><div><br></div> 这个“本体”是创造力之源。<div><br>为了把问题说得更清楚一些，假设，你是欧几里得。不知道怎么弄的，你的头脑中有了整个平面几何的“图式”…现在，你想做什么？你想要把你头脑中的图式，写成一本书。你怎么办呢？</div><div><br></div><div>经过冥思苦想之后，你发明了一种前所未有的方法，就是做五个公设，然后，你头脑中的整个“图式”就可以用这个五个公设逻辑地推导出来…于是，你写了一本书，叫做《几何原本》。后世把你的发明，叫做“公理化”。</div><div><br>在这个假想的故事中，“公理化”是“你”有了“图式”之后才发生的事情。“公理化”是为了表达“你”的“图式”才发明出来的机制，它和你的“图式”的产生，没关系。换句话说，作为表象的逻辑和作为本质的数学实质，没关系！</div><div><br>数学实质是直觉的…直觉就是直觉，直觉是混乱的、随机的、非召之即来的、不可靠的……但是，直觉是有灵性的。</div><div><br>公理化的使命，不过是把“图式”给表达出来…当然，是用一种别人能懂的方式表达出来…它本身不过是一种技巧，不是一个“实体”。它需要附着在一个实体上才能发挥作用。</div><div><br>弗赖登塔尔（H.Freudenthal），荷兰数学教育家，长期任国际数学教育联合会主席。我怀疑，此翁是有史以来最有建树的数学教育家…1987年的时候，他还来华讲过学，在华东师范大学讲的。</div><div><br></div><div>此翁本身也是一位颇有建树的数学家。和别的数学家不一样的是：别的数学家都是在年事已高，创造力衰减之后，才开始投身数学教育的，这个人在年青创造力处在巅峰状态的时候，就开始痴迷数学教育。</div><div><br></div><div>第二次世界大战期间，正常的学术交流被迫全断。二战刚刚结束，学术交流刚刚成为可能，此翁就迫不及待地在家里召开学术研讨会。经过整个二战期间的积累沉淀，在这次研讨会上，弗赖登塔尔抛出了经过长期斟酌精心论证的论题：“儿童不可能通过演绎法学会新的数学知识。”</div><div><br>这实在是洞见。</div><div><br>佛教徒虔诚跪拜的不是那堆干泥，而是自己心中的信念。如果有谁，认为那堆干泥就是信仰，那他就错了。真正的信仰是心中的那个信念。当然，那堆干泥和信仰并不完全无干，因为它是信仰的表现形式；如果有谁，认为逻辑的推导解题的算法就是数学，那他就错了。</div><div><br></div><div>真正的数学是头脑中的那个图式。当然，逻辑推导解题的算法和数学并不完全无干，因为它是数学的表现形式。</div><div><br>哎呀，真费劲。暂时只能说到这个程度了…我实在不知道怎么才能说得更明白些。如果寂微和无言对我所要说有了一点感知，那么，我的问题如下：</div><div><br>1、 二位在对小学数学的教学内容和教学方式的了解的基础上，能说说，小学数学的教学，在多大程度上，是在帮助孩子建构图式，在多大程度上，是在训练孩子掌握如何表现数学图式？</div><div><br>2、 二位所说的“数学思维”，如果从上述二分视角看出去，怎么理解？</div><div><br>3、“图式”对于高水平的数学竞赛，价值如何？</div><div><br>4、就二位在自己的体会，那个数学图式当初是怎么建构起来的？</div><div><br>呵呵，我觉得，只要再稍加讨论，就会发现，这二位的做法将会是一样的...假如寂微也有一个儿子和无言的一样大的话……尽管口头上一个说“晚”，一个说“早”...</div><div><br></div>