植树问题

奕纯

【教学内容】人教版五年级上册第 106、107 例题 1 和例题 2 【教材分析】本课是人教版小学数学五年级上册“数学广角”的内容，主要是让学生在自主探索，合作交流中增加解决问题的经验，提升解决问题的能力。在以往的教学中，教师更关注学生能否记住相应的解题方法，如:“两端都种”——间隔数+1、 “只种一端——不加不减”、“两端都不栽——间隔数—1”，其实这只是植树问题的浅表性知识。学生只知道知识的表象，因而无法灵活运用“植树问题”里蕴含的思想方法去解决和“植树问题”类似的问题。其实，“植树问题”与“路灯问题”、“排队问题”、“锯木问题”、“爬楼问题”、“敲钟问题”有着相同的数学结构，可以归为同一个数学模式，也就是间隔问题，即点和间隔依次重复出现，而且间隔长度不变。【学情分析】“植树问题”原本是四年级下册数学广角的知识，新教材将其调整到五年级，是基于五年级学生的思维发展规律而定的。虽然小学五年级学生的思维仍以形象思维为主，但抽象思维能力也有了初步的发展，具备了一定的分析综合、抽象概括、归类梳理的能力。由于学生初次接触“植树问题”，对这部分的学习内容颇感兴趣。而且学生已经掌握了关于线段的相关知识，也具备了一定的生活经验和分析思考能力。因此，在教学过程中我们对教材进行了适当的整合，充分利用学生原有的知识和生活经验，来组织学生开展各个环节的教学活动，帮助学生更好的建构“植树问题” 的模型。【教学思考】关于取舍问题:本单元涉及的数学思想方法甚多:一一对应、数形结合、化繁为简、归纳猜想、模型思想、类比的思想、化归的方法。但如果都突出，就等于没有重点，因此，本节课侧重点在一一对应、数形结合、模型思想。因此，把1例题作了一些小的调整:将 100 米改为 20 米、去掉两端都栽;弱化化繁为简的思想。【教学目标】1.利用学生熟悉的植树情境，通过动手画图、列式、交流，归纳植树问题的三种类型。2.通过交流，在理解间隔数与棵数之间规律的基础，沟通三种类型之间的关系。3.渗透一一对应、数形结合、模型等数学思想，经历从实际场景抽象出植树问题模型的过程，能解决生活中的有着相同结构的问题。4.培养学生的分析意识，养成良好的交流习惯，感悟生活中处处有数学，体验数学阅读的成功喜悦。【教学重点】经历间隔数与棵树的探究，沟通三种情况的内在联系。【教学难点】应用植树问题的模型解决相关的实际问题。 一、开门见山，引入课题。师:同学们，课前刘老师想和大家分享两句话，第一句就是:我们身边从不缺乏美的事物，只要你有一双发现美的眼睛;同理，我们身边从不缺数学问题，只要你会用数学眼光去看待问题。师:所以，今天刘老师就和大家一起用数学的眼光看看，生活中的“植树问题”究竟内含哪些数学知识呢?板书:植树问题 二、自主探究，初步建模师:请大家拿出学习单，先看任务一:同学们在一条 20 米的小路一边栽树，每隔 5 米栽一棵，一共要在栽多少棵树?(温馨提示:你可以画一画图，帮助你思考，然后再列式算一算) 师:看清楚题目要求了吗?关于题目，还有疑问吗?学生自由解题，师巡视。 (一)理解间隔 师:好，请同学们把笔放下来，谁来说一说，一共要栽多少棵树呢? 预设有三种情况:5 棵、4 棵、3 棵师:请6棵的同学先说说请学生说说原因，其他同学补充说明让学生在交流的过程中辨析 学生汇报后同学质疑补充师:我想请栽 5 棵的同学上来和大家说说他的想法。预设 1:我先种一棵树，接着隔 5 米再种一棵，接着又隔 5 米种一棵，如此类推，种了 5 棵。师:同学们，我们继续来看看他们的算式，你们还有问题吗? 师:那这 20÷5 到底是什么意思?预设 1:20÷5=4，4 代表 4 棵树。预设 2:20÷5=4，4 代表有 4 个 5 米。师:那是 4 棵树?还是 4 个 5 米呢?我们在图中找找，4 个 5 米在哪里? 师:其实 4 个 5 米，在数学上也可以叫做 4 个间隔。20➗5=4的4和4+1=5的4一样吗，它们有什么关系呢？同学们交流讨论一下。 三、深入分析，构建模型师:大家听懂了吗?有不同想法的吗?预设 2:我是这样想的，因为每隔 5 米种一棵，20 里面有 4 个 5，所以用 20 ÷5=4(棵)，一共要种 4 棵。师:那 20÷5=4，这里的 4 还表示什么意思?预设:4 代表 4 个间隔预设:4 也可以代表 4 棵树师:那种 4 棵树的同学，谁能像这样，说说那 4 个间隔对应哪四棵树呢? 预设:生边画箭头边说:一个间隔对应一棵树，4 个间隔刚好对应 4 棵树。师:谁听懂了?有疑问吗? 师:看来栽 4 棵是可以的，那你开头怎么就不栽树呢?那究竟什么时候可以不栽这棵树呢?预设:当一头有建筑物的时候，就可以了。预设 3:两头不栽，所以用 20÷5=4，4—1=3 棵。师:那种 3 棵树的，大家都听明白了吗?师:什么时候可以栽 3 棵? 预设:当头和尾都有建筑物的时候，我们头尾都可以不栽。师:那种 3 棵呢?谁继续来说说。预设:第一个间隔对应一棵树，第二个间隔对应第二棵树，第三个间隔对应第三棵树，因为头尾有建筑物，所以都不用种。师:好的，我们整理一下，通过大家交流后，发现原来既可以种 5 棵，也可以种 4 棵，还可以种 3 棵。发现 3 种情况都有算式 20÷5=4，这条算式表示什么意思?预设:表示 20 米的路，每 5 米种一棵树，就有 4 个间隔。师:然后继续发现如果可以从头种到尾，那么 4 个间隔就对应种 4 棵树，还得加上头或者尾的一棵，一共要栽 5 棵;如果头或尾有建筑物，那就 4 个间隔对应 4 棵树;如果头尾都不栽，只需要种 3 棵就够了，因为有一个间隔没有树。像这样，头尾都栽树的情况，数学上叫:“两端都栽”;只栽头或只栽尾，我们叫“只栽一端”;头尾都不栽的叫“两端都不栽”。【板书】【设计意图:将教材的 100 米改为 20 米，目的是为了弱化化繁为简的思想，其次省略两端都栽的问题，是为了更好开放学生的思维，不要只单纯地为了寻找规律和计算三种情况的棵树，最后是为后面建模打下基础。同时在学生清楚植树问题有三种情况后，继续深入分析算中的意义，理解“间隔树”与“间隔数对应的棵树”，在渗透一一对应的数学思想的同时，也是逐步建模的过程。】 四、开放植树，感悟模型。师:刚刚我们解决的植树问题路长只有 20 米，你们还能解决更长的吗?除了隔 5 米种，还可以隔几米种?师:请看学习单 2，请同学们用自己喜欢的方式去植树，路的全长与间隔距离由你们自己决定，不过只选一种方案去植树。 展示两端都栽，问你们看懂了吗？师:谁选择两端都栽的?请举手。谁愿意展示一下你的作品。(请 4 位同学上台)请其他同学观察发现分享强调学会说:100÷5=20 个间隔，20 个间隔对应 20 棵树，加上头的那棵树，就等于 21 棵树。师:那请大家看看这几条算式，你发现了什么?预设:要求种多少棵树的问题，首先得算出有多少个间隔，然后加上头的 1 的棵就等于种多少棵树?师:同学们，这条公路还可以再长吗?看来只要我们掌握解决问题的策略和方法，问题就迎刃而解了。师板书:棵树=间隔数+1 师:只栽一端的呢?(展示部分学生作品) 师:不交流了，你们继续观察，发现了什么?预设:间隔数=棵树 师:有两端都不栽的吗?你发现了什么?预设:间隔数—1=棵树【设计意图:开放路长和间隔距离，增强学生学生的主动性;有意识地指导学生扩大数据，使建模素材更有可信度，同时总结出植树问题的计算规律。】 五、课堂小结，梳理内化。(一)全课小结师:同学们，今天我们学习有关植树问题。我们发现，要想知道栽多少棵树，前提得算出什么?预设:间隔数师:是的，解决植树问题的关键其实就在于间隔数。所以呀，植树问题其实就是间隔问题。那么难道我们学习植树问题就是为了解决怎样植树?植多少棵树的问题吗?生活中还有哪些问题，其实也可以用植树问题的方法解决的?预设:路灯问题、爬楼梯问题、敲钟问题等......师:孺子可教也，是的，其实它们都有着相同的地方，都是和间隔问题有关。也就是说，你遇到什么问题，就会想起用植树问题的方法来解决?预设:和间隔有关的问题，都可以用植树问题的方法解决。师:所以呀，今天我们学习植树问题，只是一个典型的例子，其实是为了解决和一样具有相同特点的问题——间隔问题。所以，刘老师想给题目加个双引号。你们觉得可以吗?板书:“植树问题” (二)分享收获师:同学们，通过这节课的学习，你能和大家分享一下，你有什么收获吗?