问题讨论●冲 量 方 向 剖 析

教育观

问题讨论●冲 量 方 向 剖 析

束 义 福

关于冲量的方向 ,一些教科书及资料中说“冲量方向就是力的方向”,“冲量方向由力的方向决定”.笔者认为 ,这种说法值得商榷 ,因为这样说过于笼统 ,且容易使学生产生误解 .一、关于冲量的定义讨论冲量方向应从冲量定义出发.冲量分两种情况.1.恒力的冲量: 当作用在物体上的外力 F是恒力时 ,其冲量等于恒力 F与恒力的作用时间 t的乘积 ,即　　　　　　　 I= Ft. ①因恒力方向不变 ,冲量方向与恒力方向相同.2.变力的冲量: 当作用在物体上的外力 F是变力时 ,应将变力 F作用的时间 t 分成无限个极短的时间间隔 dt i ,在每个 dt i 内的外力 F i都可视为不变 .根据恒力冲量的定义 ,可得外力 Fi 在时间 dt i 内的微分冲量为dI= F i dt i .变力 F在作用时间 t= t 2 - t 1 内的冲量为　　　　　 I=t 2t 1Fdt. ②这表明: 变力冲量的大小和方向由变力作用时间内所有微分冲量的矢量和决定.②式是普遍情况 ,①式是当 F为恒力的特殊情况.二、关于冲量方向的确定微分冲量 F i dt i 的方向可认为与这个时间间隔 dt i 内的力 F i 的方向相同 .如果外力 F是大小改变方向不变的变力 ,各微分冲量的方向都与外力 F的方向相同 ,因此它们的矢量和方向即外力的冲量方向 ,应与外力方向相同.如果外力是方向改变的变力 ,各微分冲量的方向并不相同 ,它们矢量和的方向即外力的冲量方向 ,不仅与力的大小和方向有关 ,而且与力的作用时间有关 .

例如 ,质量为 m 的物体 ,停在水平面上某点 ,在时间 t 1 内 ,受到大小为 F 1 、方向沿正北的外力作用 ,接着又在时间 t 2 内 ,受到大小为 F 2 、方向沿正东的外力作用 ,则在时间 t1和 t2 内外力的冲量的大小 (如图 1,建立坐标 )为· 10 · I= ( F 1 t 1 )2 + ( F 2 t 2)2,外力的冲量方向可由它与 y轴的夹角 θ决定:θ= tg- 1 F 2 t 2F 1 t 1 .图 1这是 变力方向改变时 ,确定冲量方向的最简单例子.如果 外力方向连续变化 ,则直接求微分冲量的矢量和往往很困难 ,即使将各个微分冲量投影到直角坐标轴上 ,把矢量的叠加变成代数运算 ,也还相当麻烦.在这种情况下 ,如果根据力的时间积累效应 ,即冲量的效应来确定冲量方向 ,就要简单得多 .牛顿本人对牛顿第二定律提出的形式是F=d(mv )dt=dpdt.可知力在极短时间内的微分冲量为Fdt= dp.力在时间 t= t 2 - t 1 内的冲量为I=t 2t 1Fdt=p 2p 1dp= p2- p1 .上式表明: 物体所受合外力的冲量等于物体动量的增量 .冲量是过程量 ,而动量的增量是过程始末两时刻动量的矢量差 ,因此可以用动量的增量来确定冲量的大小和方向 .

例题　长为 L 的绳子一端系一质量为 m的小球 ,另一端固定 ,使小球在竖直面内做圆周运动 ,小球在最高点 A时的速度为 v A ,方向水平向右.求经过14 、12 圆弧过程中合外力的冲量.解析　小球受到重力和绳子的拉力作用 ,显然这里合外力是大小和方向都随时间不断发生改变的变力 .设小球经过14 、12 圆弧到达B、C点的速度为 v B 、v C ,如图 2a所示 .根据动量定理 ,小球经过14 圆弧的时间内合外力的冲量如图 2b所示 ,其大小为I 1 = (mv A )2 + (mvB )2,设冲量的方向由 θ角决定 ,可得θ= tg- 1 mv Bmv A.图 2如图 2c所示 ,取水平向右方向为正方向 ,小球经12 圆弧时间内合外力的冲量为I 2 = - mv C - mv A ,负号表示该冲量方向水平向左.至于 vB和 vC 的大小 ,由机械能守恒定律易得出v B = v A2 + 2gL; v C =v A2 + 4gL .由以上讨论可见 ,冲量的方向不能笼统地说是力的方向.

一般情况下 ,冲量矢量是在作用时间内矢量对这段时间的积分而不是简单的力和力作用时间的乘积.如果在作用时间内力的方向不断变化 ,冲量的方向可能跟任何时刻力的方向都不相同 ,就不能取决于某一瞬时的外力方向 ,而取决于物体动量增量的方向.至于冲量的量值 ,尽管外力在运动中随时改变 ,物体速度也逐点不同 ,冲量大小却完全决定于物体始末两状态动量矢量差的绝对值 ,而与运动过程中物体在各点的动量无关.只有在作用时间内力的方向不变时 ,冲量的方向就是力的方向.因此 ,某些教科书及资料中关于冲量的方向“就是力的方向” ,“由力的方向决定”的说法仅适用于方向不变的力的情况 ,而不适用于方向改变的力的情况.

综上所述 ,笔者认为: “冲量的方向就是动量增量的方向”这一论述应该着重强调 ,并使学生理解和掌握 .不论是恒力的冲量 ,还是变力的冲量 ,其方向及大小都可由动量的增量来确定.如果是恒力 ,就可用力的方向确定冲量的方向 ,这样确定冲量方向简便;如果是变力 ,冲量的方向则由动量增量的方向来确定 .这样讲学生易于接受和理解 ,也便于运用

11 ·Vol. 26　 No. 11Nov. 1997

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