初三一元二次方程，最容易丢分的6类题

墨泉

一元二次方程是初三数学的重头戏，计算、应用、压轴题里几乎处处都用到它。可越是常考，学生越容易在"看着简单、一做就错"的地方栽跟头。下面这 6 类题，都是从近几年各地区考试里挑出来的典型丢分题，看看你家孩子会不会也踩中这些坑。

第1类 · 已知解求代数式的值

1.若x=3是关于 x 的方程ax²−bx=3 的解，

则2025−3a+b 的值为_____。

易错点：

①把 x=3 代入后能求出 3a−b=1，但要求的代数式要"整体代换"成 2025−(3a−b)。

② 不少同学算到这一步就停住，或者把 −3a+b 的符号搞反。

第2类 · 由恒等式求方程的根

2.已知：关于x的方程

(x+3)(x−2)+m=x²+x，则一元二次方程 x²+x−m=0 的根是______。

易错点：

第一步要先由恒等式求出 m（展开左边、对比右边得 m=6），再代回求根。

很多同学死板地去解带 m 的方程，或者在展开 (x+3)(x−2) 时把 −x 这一项的符号弄丢。

第3类 · 定义新运算，已知一根求参数

3.定义新运算

a*b=(a+b)²−2a，

如 2*3=(2+3)²−2×2=21。

若 x*m=0（m 为实数）是关于 x 的方程，且 x=2 是这个方程的一个根，则 m 的值是____。

易错点：

①是把 x*m 展开成 (x+m)²−2x 时漏掉 −2x 这一项；

②是代入 x=2 后由 (2+m)²=4 求 m，平方要开正负两个解，很多同学只写出 m=0，把 m=−4 漏掉了。

第4类 · 整体换元求值

4.已知 (m²+n²)²−3(m²+n²)−10=0，

则 m²+n²=______。

易错点：

看到两个一模一样的 m²+n²，要想整体换元，设 t=m²+n² 再解。

但解出 t 的两个值后，务必记得 m²+n²≥0，负的那个根要舍去，很多同学把两个值都写上导致出错。

第5类 · 降价促销利润问题

5.（应用题）百货商店服装柜在销售中发现：某童装每天可卖 20 件，每件盈利 40 元。为迎接"六一"儿童节，商场决定采取适当降价措施，扩大销售量、增加盈利、减少库存。经市场调查发现：每件童装降价 1 元，每天可多卖 2 件。要想平均每天获利 1200 元，那么每件童装应降价多少元？要使每天盈利最多，每件应降价多少元？

易错点：

①等量关系别列错——"每天盈利＝每件盈利 × 每天销量"，每件盈利是 40−x、销量是 20+2x；

②两问别混：第一问"获利1200元"是解方程，第二问"盈利最多"是求最大值；

③别忽略"减少库存"这个前提——解出 1200 元的两个降价值时，要取销量更大（降价更多）的那个，很多同学漏了这一步取舍。

第6类 · 含参方程：判别式与韦达定理综合

6.（解答题） 若关于 x 的方程

ax²−(3a+1)x+2(a+1)=0 有两个不相等的实根 x₁、x₂，且有 x₁−x₁x₂+x₂=1−a，求 a 的值。

易错点：

①最容易漏的是——只顾用韦达定理列等式求 a，却忘了题里说"有两个不相等的实根"，得先保证判别式 Δ>0（且 a≠0），求出 a 之后必须带回去检验；

② x₁−x₁x₂+x₂ 要先合并成 (x₁+x₂)−x₁x₂ 再用韦达定理代换，中间符号别弄错。

※ 为什么这 6 道题不给答案？

答案一提前亮出，孩子很容易陷入“看着会、一做就错”的误区。

这6类题的价值，从来不在答案本身，而在于让孩子亲手演算，看清错因，这才是真正帮孩子提分的关键。

务必让孩子独立完整做完题目，再核对答案，找准卡点。文末附上这份易错题集完整版练习，先不看易错解析，独立完成作答，再对照评判、复盘分析，查漏补缺，稳步提升。

学习很苦，坚持很酷！

1.若 x=3是关于 x 的方程 ax²−bx=3 的解，

则 2025−3a+b 的值为______。

2. 若(x+3)(x−2)+m=x²+x，

则一元二次方程x²+x−m=0 的根

是______。

3. 定义新运算：

a*b=(a+b)²−2a，

如 2*3=(2+3)²−2×2=21。

若 x*m=0（m 为实数）是关于 x 的方程，且 x=2 是这个方程的一个根，

则 m 的值是______。

4. 已知 (m²+n²)²−3(m²+n²)−10=0，

则 m²+n²=______。

5.（应用题）

百货商店服装柜在销售中发现：某童装每天可卖 20 件，每件盈利 40 元。为迎接"六一"儿童节，商场决定采取适当降价措施，扩大销售量、增加盈利、减少库存。经市场调查发现：每件童装降价 1 元，每天可多卖 2 件。要想平均每天获利 1200 元，那么每件童装应降价多少元？要使每天盈利最多，每件应降价多少元？

6.（解答题）

已知关于 x 的方程

ax²−(3a+1)x+2(a+1)=0 有两个不相等的实根 x₁、x₂，且有 x₁−x₁x₂+x₂=1−a，求 a 的值。