一尺之棰初识高等数学

大雁

一九七八年，是我人生重要的节点——参加全省中专统一考试被录取，踏入国家中等专业学校的大门。彼时的我，十四岁，应届初中毕业。

这是国家结束十年动乱后，恢复高考制度后的第二年。在别人眼里，我是一个幸运儿，但我心里并没有什么起伏，只是觉得要进入更辛苦的学习阶段，自己得认真对待才行。

这是一个奇特的班集体——中专班里共四十号人，清一色的男生，年龄相差悬殊，最大的是两名重庆到云南支边的知青，两人都是而立之年；最小的才十三岁，分别是忠县的胡平、泸州的明宏同学。人员籍贯覆盖了全省除雅安、攀枝花、凉山州以外的地市。

我们的学制为三年，第一年课程是学习普通基础课，后两年是专业课和实习。

当时刚恢复统考，我在读的学校是部属重点中专，定位偏高，教学标准也顺理成章拔高。学校目标是培养企业今后的技术骨干，希望学生的数理底子更强，所以直接拿师范专科、工科专科的公共基础教材来讲。

记得刚入学拿到课本，一看封面上写着大学语文、高等数学，还有大学英语，不禁大吃一惊，这些都是实打实的“硬菜”。从教材封面知悉，《语文》是华东地区联合编写版本，《高等数学》由同济大学编写，《英语》则是上海交通大学编写。数学教材还有上海交大的《工程数学（线性代数）》。

就这三科而言，实事求是地说，语文基础扎实，数学也不差，语文相对更突出。英语则是零基础，初中没开设，只认识二十六个字母，不过有语文的底子，我想学起来应不会太难。语文更不用担心。高等数学是令许多学人闻之色变的科目，还是大学教材，初中又完全没接触过，概念抽象，公式、定理多，貌似很深奥，让我一时陷入焦虑。

翻开《高等数学》教材，里面引用的一古代名人的话让我来了兴趣：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”语文知识让我自然理解了这句话的意思，它是说：一尺长的木棍，每天截去剩余部分的一半，这木棍永远也截不完。这是古人对极限最朴素，也是最本质的理解。仔细琢磨，非常有意思！一根木棍，不断对半分割，居然可以永远分下去！理论上没有任何破绽，完全说得通。高等数学“一进门”，就被它哲理性的话语吸引了，这激起了我的学习兴趣，我倒要看看它究竟有多难？是什么难？

从函数开始，到极限、连续、 一元函数微分学，学习由浅入深，越往后，门槛越高，愈见艰深。继后学到牛顿—莱布尼茨定理（微积分基本定理），算是进入学习的深水区。定积分的原始定义：把曲线下方的区域分割成若干极窄小长条，每个长条近似当作矩形，经过分割、近似、求和，再取极限。在牛顿–莱布尼茨定理发现之前，这种无穷累加的极限运算十分繁琐，很多问题难以算出结果。

这个定理揭示了一个核心结论：微分与积分互为逆运算。

初看只觉得是个公式，细想才觉出它的不寻常。求曲线下方的面积（积分）和求曲线在某一点的切线斜率（微分），分明是两回事，竟能构成精确的互逆关系。积分是把无数无穷小的量累加起来，微分是考察瞬间的变化快慢，方向相反，却像加法与减法、乘法与除法那样彼此还原。这种对称之美，让人忍不住想多琢磨几遍。

更让我惊叹的是它的实用之处。过去算一个曲边梯形的面积，只能老老实实地分割、求和、取极限，步骤繁琐，稍不留神便陷入无穷级数的泥潭。而有了这个定理，只需求出原函数，代入上下限相减即可——繁琐的极限运算，被巧妙地转化为简单的代数计算。数学家们前赴后继摸索了几百年，才从无数具体问题中提炼出这条普遍规律，把一座看似无法翻越的高山，凿成了一条通畅的隧道。

从纷繁复杂中提炼出简洁而普遍的规律——这种能力，是我在高等数学里感受到的最深震动。我从开始的畏惧，变成逐渐喜欢上。那一年，十四岁的我坐在中专的教室里，为一条三百年前的定理暗自惊叹。如今想来，那份纯粹的惊奇与喜悦，大概就是求知最本真的模样。

随着教学计划稳步推进，知识不断积累，高等数学的神秘面纱被一层层揭开。它并非高不可攀，其中每一块内容，都源自现实世界；只是数学家抽丝剥茧，提炼出背后抽象的规律与方法。大家畏惧高数，主要难点不是计算本身，而是需要跳出中学静态数学思维，建立起极限、连续、无穷小这类抽象思维，而且知识前后环环相扣，前面不懂后面很难推进。

一年基础课学习下来，高等数学考试，成绩为中上水平。这对毫无一点高等数学基础的人来说，已是斐然了。初闯高等数学王国的苦乐，至今仍历历在目。

回首这段岁月，当年灯下啃读大学教材的时光，早已沉淀成一份珍贵的馈赠。虽只是中专求学，却有幸触摸高等数学的思想光芒，见识先秦名家的无穷思辨，领会牛顿—莱布尼茨定理的精妙。这段苦乐交织的求学经历，不仅打下扎实的理科基础，更教会我用逻辑与理性去看待世间万物。岁月流转，当年课本上的文字、课堂上的思辨，依旧留在记忆深处，久久难忘。