暑假数学学习阅读日记（持续更新21天）

陈纳德

阅读日记第1天

阅读日记第2天

今天我读了《漫画数学》这本书中的第二章“数是什么？”。

这一章主要讲了古今的数字及计数法，以及各种数系和数的延伸。古代的数字古代的数字有很多种。古代巴比伦人的数字用点表示：五个点表示五，八个点表示八，九个点表示九。点画得上大下小，像一枚钉子。点太多时容易看不清，所以专门用一个记号“折”表示10。15则由一个“折”和五个点组成。到了60，又规定了新的记号“T”，它还代表了360。用这个方法，数太大就容易混淆不清，还得配上文字说明。古埃及的数字比古巴比伦的简单一些，但比今天用的数字难写很多。他们要表示1000，就画一个双手举起的人。这就叫象形数字。古罗马用大写拉丁字母表示数：I是1，V是5，X是10，L是50，C、D、M分别代表一百、五百、一千。一个数字重复几次就是它的几倍，如两个I是二，三个I是三，两个M是两千。大数右边写个小数表示相加，左边写个小数表示相减。例如，XII是十二，IV是四。数字上面画一横表示它的一千倍，比如M上面画一横，就表示一千的一千倍，即一百万。我们中国常用的计数法是画“正”字，一个正字是五画，表示五。当然也可以用更简单的记号代表比五更大的数字。中国的“十、百、千”和罗马的“V、C、M”早就创造了出来。然而，数是无穷无尽的，而代表数的符号却只有不多的几个或十几个。怎么办？只能把这几个记号拼起来表示更多的数。这必须有一个规则，而这个规则就是计数法。古埃及人用一个弯弯表示10，用一条竖表示1。那么，四个弯和四个竖就表示44，这叫做组合计数法。按这种方法，四千五百六十三用中国的数字表示就得写成“千千千百百百百十十十十一三三”。组合计数法太辛苦了，得想一个改良的办法。有人就建议过一种计数法，叫做加减计数法。这种计数法不要六、七、八、九这几个数字，九用“十减一”表示，八用“十减二”表示，七用“十减三”表示，六用“十减四”表示，数字上画一杠就表示减它。按这种方法：498写成“500减2”。7683写成“10000减2317”。这种方法的好处就是少了四个数字，做基本的运算容易多了。乘法口诀本是36句（一的口诀不算），现在只有10句：2乘2等于42乘3等于10减42乘4等于10减22乘5等于103乘3等于10减13乘4等于123乘5等于15等等这样一来，加法和减法就变成一回事了。例如，计算变得简单。五千减两百等于四千八百。五千减两百三十减一等于四千七百六十九。三千减二十四减一等于两千九百七十五。五千减两千两百三十一减一加上三，加上二等于两千七百七十三。二百四十减三百零一等于负六十一。这样从学习加法开始，就要学习正负数运算方法，为将来的代数做准备，非要核算很多个数连加或连减的混合运算。由于正负相抵，运算变得很简单。在近似计算中，没有四舍五入的规则，带来的就是减去简单的“尾巴”。可惜的是，现在的十进制计数法在地球上很普及，要改将要付出很大的代价，会引起广泛的混乱。因此，这个方案就只能不了了之了。各种数系中，我最感兴趣的就是分数。分数的基本性质和运算规律有八条：

第一，当m和n是整数，且n不等于零时，n分之m就是一个分数。

第二，当m等于0时，n分之m等于0；当n等于1时，n分之m等于m。

第三，如果mk等于nl，并且k和n都不是0，则n分之m等于k分之l。

第四，如果mk小于nl，且k和n都是正数，则n分之m小于k分之l。

第五，n分之m加或减k分之l等于nk分之(mk加或减nl)。

第六，n分之m乘k分之l等于nk分之ml。

第七，当l不等于0时，n分之m除以k分之l等于nl分之mk。

第八，分数之间的四则运算满足加法交换律等运算律。加法结合律、乘法交换律、乘法结合律及乘法对加法的分配律。这是数轴。

今天我主要看了漫画数学的第三章：运算的规律。首先，什么是运算？给两个数字，三和五，中间放个加号，结果就是八，这就是在做一种运算——加法。基本的算术运算有两种：加法以及乘法。减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。两种基本的算术运算服从五条基本规律：加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法结合律及乘法对加法的分配率。我们在做计算时，一步也离不开这些规律。常用的数学运算分三级：加减法是一级运算乘法和除法是二级运算乘方和开方是三级运算在一个算式里面，如果有不同级别的运算，就得先进行三级运算，再进行二级运算，最后再进行一级运算。同一级别的运算得按自左而右的顺序进行。比如三减二加一，要先算三减二，不能先算二加一。在什么情况下不能交换位置？例如：不能把35写成53不能把100写成001不能把二的三次方写成三的二次方不能把2+3×5当成3+2×5在运算时，应当时刻留心能否交换顺序。

《漫画数学》第四章：两位数速算全攻略

漫画数学第四章：两位数速算全攻略

一、加减法技巧：从高位算起，减轻大脑负担

两位数加减法若从高位算起，能大幅减少记忆负担。以32+46为例：先算3+4=7，直接报出“七十”；再算2+6=8，接着报“八”，最终答案78。若先算个位，需在脑中暂存“八”的同时计算十位，易出错。多位加减法同理，只需记住数字即可套用此法。

二、平方速算：巧用补数与分解

1. 个位为5的两位数平方：将十位数加1后与原十位数相乘，末尾补25。如65²：→ 6×(6+1)=42→补25→4225；25²：→2×(2+1)=6→补25→625。

2. 个位<5的两位数平方：原数加个位后乘十位数，末尾补0再加个位平方。如43²：→(43+3)×40=1840→加3²=9→1849；24²：→(24+4)×20=560→加4²=16→576。

3. 个位>5的两位数平方：原数减个位补数后乘(十位数+1)并补0，再加补数平方。如37²：→(37-3)×(3+1)×10=1360→加3²=9→1369。

三、乘法速算：凑十法与补数法

1. 十位相同且个位和为10：十位数乘(十位数+1)作前两位，个位相乘作后两位。如63×67：→6×(6+1)=42→3×7=21→4221；84×86：→8×(8+1)=72→4×6=24→7224。

2. 接近10ⁿ的数相乘：用被乘数加乘数与10ⁿ的差作前几位，两差相乘补0作后几位。如998×997：→998+(997-1000)=995→(-2)×(-3)=6→补0→995006。

四、原理拆解：公式化理解更清晰

1. 平方速算公式：

○ (10A+5)²=100A(A+1)+25

○ (10A+B)²=10A(10A+2B)+B²

○ (10A-B)²=10A(10A-2B)+B²

2. 乘法速算公式：

○ (10A+B)(10A+C)=100A(A+1)+BC

○ (10ⁿ+A)(10ⁿ+B)=10ⁿ(10ⁿ+A+B)+AB

五、除法速算提示：化除为乘与因数分解

除法虽难速算，但可尝试两种方法：①乘以除数倒数（如÷24=×1/24）；②分解除数为一位因数（如3456÷24=3456÷(8×3)，先÷8再÷3）

阅读日记：速算技巧的奇妙之旅

今日阅读收获

通过《漫画数学第四章：两位数速算全攻略》的学习，我掌握了多种高效的计算技巧。最令我印象深刻的是“从高位算起”的思路，它不仅适用于加减法，还能帮助我快速预估结果。此外，个位为5的平方速算、十位相同个位和为10的乘法等特殊技巧，也让我看到了数学中的规律之美。

重点技巧总结

加减法高位优先法：计算时先处理十位，再调整个位，例如 68 + 27 可先算 60+20=80，再算 8+7=15，最后合并为 95。

平方速算技巧：个位为5的两位数平方，只需用“十位数字×(十位数字+1)”接25，如 35² = 3×4接25 = 1225。

乘法特殊规律：十位相同、个位和为10时（如 43×47），结果为“十位数字×(十位数字+1)”接“个位乘积”，即 4×5=20，3×7=21，最终为2021。

个人感悟

学习两位数速算不仅提升了我的计算效率，更让我意识到数学并非死记硬背，而是充满逻辑与巧思的探索。例如，通过拆分数字、利用互补关系，复杂运算变得直观简单。未来在做购物心算、快速核对数据时，这些技巧都能派上用场，真正实现“学以致用”。

阅读日记第3天

《漫画数学》第五章阅读整理

今天阅读《漫画数学》第五章，本章核心讲解对数基础、简易刻度尺演算规律，演示如何依靠两把直尺完成加减、乘除运算。

一、直尺演算加减法

取两把刻度完全相同的直尺对齐摆放，就能做成简易加法计算器。

举个例子：将上尺刻度4对准下尺刻度7，两把尺子起点0相对的位置，刻度恰好是11，对应算式4+7=11。

原理直观：上尺0到4的长度为4单位，下尺0到7为7单位，两段长度拼接后的总长度，就是对应刻度11。

换个角度观察刻度变化：若上尺刻度向左移动一格，数字从4变为5，下尺对应数字就从7变为6，乘积不变，也就印证4+7=5+6。持续向左推移刻度，能得到多组和为11的组合：5+6、6+5、7+4、8+3、9+2、10+1、11+0。

减法运算同理：把上尺刻度11对准下尺起点0，此时下尺7正对上尺4，即可得出11-7=4。只要尺子毫米刻度清晰、视线准确，这套简易工具可以完成百以内加减法计算。

二、改造刻度尺计算乘除法

修改直尺刻度规则，就能切换为乘除计算器：原刻度0替换为1、刻度1替换为2、刻度2替换为4、刻度3替换为8……每向右一格，刻度数值翻倍。两把改造后的尺子对齐摆放，即可计算乘法。

以8×32举例：将上尺32对准下尺8，下尺起点1对上尺256，得出8×32=256。同时尺子会同步展示等价算式：4×64、2×128，结果同样是256。

若延长尺子左侧刻度，每往左一格数值减半，补充0.5、0.25、0.125这类小数刻度，还能计算小数乘法，例如512×0.5、1024×0.25，得数依旧为256。

核心规律：向左移动一格，上尺数值翻倍、下尺数值减半，二者乘积始终不变，所以32×8=64×4=1×256。

除法逻辑反向推导：把上尺起点1对准256，刻度32刚好对应8，证明256÷32=8。这套尺子仅标注2的倍数，缺少3、5这类数字，无法计算所有数字乘除。

三、对数的由来与定义

上述乘除尺依靠2的整数次幂（1、2、4、8、16、32……）计算，但这套数字间隔差距过大，无法计算13×14这类普通数字，存在明显局限。

为解决该问题，数学家选用无限接近1的底数Q=1.0001，算出Q的全部次幂并整理成表格，借此把复杂乘除法转化为简单加法：

比如计算2.5×3.7，可转化为Q^{9163} × Q^{13084}，指数直接相加，得到Q^{22247}，最终对应真数9.25。

其中9.25称为真数，Q=1.0001是底数，22247就是以Q为底、9.25的对数；整理好真数与对应指数的对照表，就是对数表。

对数诞生百余年之后，数学家把幂指数拓展到分数、无理数范围，给出通用定义：

设正数A≠1，若Y=A^X，则X称作以A为底Y的对数，记作X=\log_A Y。

如今电子计算器普及，对数用于手动计算的实用价值大幅降低，但指数、对数函数的数量关系，依旧是各类科学技术研究中不可或缺的基础工具。

阅读日记第4天

今天主要看的是《漫画数学》第六章：恒等式与方程。首先，等式不一定真的相等。等式好比天平，天平不一定是平的，要看两边放的东西重量是不是一样。等式不见得两边都相等，要把两边的数值算出来看看是否一样。如果一样，这个等式就是真的，或者说等式成立；如果不一样，这个等式就是不成立的。如果告诉你，天平一边放了3颗螺丝钉，另一边放了6克的砝码，天平是不是平的呢？你一定反问：一颗螺丝钉究竟有多重？当螺丝钉重量是未知数时，都无法肯定天平是不是平的。同样的道理，如果等式两端或一端出现了未知数，等式成立还是不成立，就要看未知数取值是多少了。这样含有未知数的等式就是方程。有时尽管不知道天平上放的螺丝钉有多重，仍然能断定天平是平的，比如天平两端都放上三颗一样重的螺丝钉。尽管一颗螺丝钉的重量是未知数，我们仍知道天平是平的。同样的道理，也有这样的方程：不管其中未知数取什么值，它都是真的等式。这种方程叫做恒等式。例如， (X² - 1) = (X + 1)(X - 1) 就是一个恒等式。恒等式是一些特殊的方程。当我们确定某个方程是恒等式时，就不再叫它方程，而明明白白的叫它恒等式了。把任何一个恒等式的右端用移项的方法移到左端，可以使右端成为零。使右端为零便得到了零的一种表现形式。例如，从(X - Y)^2 = X^2 - 2XY + Y^2可以知道，(X - Y)^2 - (X^2 - 2XY + Y^2) = 0是一种表现形式。因为恒等式里的x、y又可以取各种各样的值，这一种表现形式其实蕴含了0的一类无穷多种更具体的表现形式。数学里丰富多彩的恒等变换都可以看成0的千变万化。鸡兔同笼是一道流传很久的算术题。例如，鸡兔同笼，头数17，脚数56，问共有几只鸡？

按鸡兔同笼的思路分析：鸡和兔共有17只。每只鸡有2条腿，每只兔有4条腿。若全是兔，则应有17×4=68条腿。现有56条腿，少了68-56=12条腿。这是因为其中有鸡；一只鸡比一只兔少4-2=2条腿。因此，鸡的数量应为12÷2=6只。将 (B/D) - (A/C) 再用勾再用积等于 (A/X) 求出 X = (AD - BC) / (AD - BB)。Y = (AD - BC) / (BA - AC)。延伸来看，我们可以用二元一次方程解一元二次方程。可以设二次方程为 X² + PX + Q = 0，有两个根 X1 和 X2。利用根与系数的关系：X1 + X2 = -P，X1 * X2 = Q。利用恒等式 (X1 - X2)² = (X1 + X2)² - 4X1X2，得 (X1 - X2)² = P² - 4Q。因而得 X1 - X2 = ±√(P² - 4Q)。把 X1 + X2 和 X1 - X2 联立，可求出 X1 和 X2。这就把一元二次方程的求解转化成了二元一次方程组。但是，三次方程的求根公式又如何呢？在一本名为《大法》的书里，作者卡丹写出了公式。设要解的三次方程为 A X³ + 3B X² + 3C X + D = 0 (A ≠ 0)。做变换 X = Y - (B/A)，可以将方程变为 Y³ + 3P Y + 2Q = 0，其中 P = (C/A) - (B²/A²)，Q = (B³/A³) - (3/2)*(BC/A²) + (D/(2A))。再做变换 Y = U - (P/U)，得到关于 U³ 的方程：U⁶ + 2Q U³ - P³ = 0。利用二次方程求根公式，得 U³ = -Q ± √(Q² + P³)。代入即可求解。Y等于根号立方：（-Q + √(Q² + P³))³ + （-Q - √(Q² + P³))³。

两个三次根选取法应当使二者之积为负P。在卡丹的《大法》一书中，还有四次方程的解法，这是卡丹的学生费拉里的成果。

设要解的方程是：

X⁴ + BX³ + CX² + DX + E = 0。

对前两项配方得：X²。