美之序列 (续)

蛇王天成

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段 落

前言

一， 0，1 ，i 和 ∞ 的由来

二，无中生有久久归一

1. 虚数单位 i

2. 黄金比率 Φ 和 φ

3. 黄金比率只含数1的

连分数表达式

4. 黄金比率只含数1的

无限嵌套平方根表达式

三，欧拉恒等式

视频《上帝的公式》

视频《宇宙万物有形生长有序》

四，自然常数 e 的由来与计算

1. 源于复利计算

2. 极限 lim (1+1/n)^n ， n→∞

3. e 的阶乘表达

4. 求极限 lim(1＋1/x)^x，x→∞

5. 用阶乘倒数和序列计算e

五，圆周率 π 的由来与计算

六，黄金比率Φ与黄金螺线

1. 对数螺线

2. 黄金螺线

3. 斐波那契螺线

视频《时空生命法则》

七，世界上最美的十个数学公式

附件 备查公式

前 言

　　

2021年以来，笔者陸续在美篇平台上发布了有关斐波那契数列，螺旋曲线，分形几何，素数倒数的循环节的性质及其证明，以此来表达对数学之美的赞叹。

最近在网上看到了很多关于“欧拉恆等式：e^(iπ)＋1＝0”的评论受到启发，想进一步探讨一下数学中六个常数：π、e、Φ、i、0 、1和无穷大 ∞ 之间的密切关系。

“无中生有”的真理：

“道生一、一生二、二生三、三生万物、久久归一。”

这句话融合了《道德经》的宇宙生成论与后世对循环往复哲学的总结，主要阐述了‌“道”作为万物本源，从无形到有形、从简单到复杂的演化过程，以及最终回归本源的循环规律‌。

以下是核心解读：

‌道生一‌：“道”是无形无名的本体，“一”指混沌未分的元气或太极状态。这是“无中生有”的第一步，即从绝对的空无中诞生了最初的统一体 。

‌一生二‌：“一”分化出阴阳二气（或天地）。阴阳是对立统一的两种基本力量，如动静、冷热、明暗 。

‌二生三‌：阴阳二气交互激荡，产生“冲气”（和气/中和之气）。这种和谐的状态是万物生成的必要条件 。

‌三生万物‌：在阴阳调和的基础上，衍生出世间千姿百态的具体事物 。‌‌

久久归一：虽然《道德经》原文止于“三生万物”，但“久久归一”（通常表述为“九九归一”或“复归于朴”）体现了道家‌循环往复‌的核心思想：

物极必反：事物发展到极致必然向反面转化，最终回归本源 。

‌闭环结构‌：从“无”开始，经历“有”的繁盛，最终又回归到“无”或“一”的宁静状态。这不仅是宇宙的演化规律，也暗示了人生修养应返璞归真，保持内心的平和与统一 。‌‌

本文提到的对数螺线‌、‌黄金比率‌等数学概念，这一哲学思想在自然界中有深刻的数学体现：

‌分形与自相似‌：“道生一...三生万物”类似于分形几何中的迭代过程，简单的规则（道生一）通过不断迭代（一生二、二生三），生成复杂的自然形态（万物）。

‌螺旋回归‌：对数螺线（等角螺线）具有“自相似性”特性，无论放大多少倍，形状不变。这在视觉上完美诠释了“生生不息”且“终归同一”的道家美学——形式在变，其本质：螺线径矢长度公比不变、螺线切线与径矢夹角恒值。

简而言之，这句话揭示了‌世界起源于简单的统一，通过矛盾（阴阳）互动变得复杂，但最终遵循某种内在秩序回归和谐‌的真理。

笔者把相关的数学知识汇总成《美之序列 (续) 》与大家一起分享。如有观点错误或表述不当之处，请读者批评指正。谢谢!

笔者

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一， 0，1 ，i 和 ∞ 的由来



当远古时人们需要计数 (如数野兽之类）时，便发明了自然数，于是自然数最初是指从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10……等正整数开始的无限连续整数序列，趋于无穷大 ∞。

数学家皮亚诺在公元1889年提出“后继数”的概念，给出“皮亚诺公理”，在数学上严格地定义了自然数：一个数的后继数指紧接在这个数后面的数，例如，1的后继数是2，2的后继数是3，等等。

公理最后指出，如果证明一个命题对自然数 1是真的，且假定它对自然数a为真时，还可以证明对a'也真。那么，命题对所有自然数都真。

这被称为数学归纳法原理。

公元263年，数学家刘徽在注《九章算术》时，已明确地将“0”作为数字了，使用过程中，开始用“口”表示，后来把方块画成圆圈。到了十三世纪，南宋数学家正式开始使用“0”这个符号。

当“0”传到欧洲时，有一位罗马学者从一本天文书中见到了阿拉伯数字，对“0”的作用十分推崇，专门在他的日记本上记下了“0”在记数和运算中的优越性。后来，被罗马教皇认为“0”是“异端邪说”，下令禁止使用，还将这位学者逮捕入狱，施行了拶刑。



英国著名科学史专家李•约瑟博士的考证，“0”产生于中印文化，是中国首先使用的位值制促进了零的出现。

印度是在中国筹算和位值制的影响下才创造“0”的。

由此可见，中国是“0”的发源地。

可以肯定的说，是先有1，后有0。

皮亚诺公理的原始版本中，自然数是从数1开始，以后演变成自然数也包括数 0。

二，无中生有久久归一





1. 虚数单位 i

系数为1的一元二次方程中，方程

x^2＋1＝0

的根等于±√(-1)＝±i，这里i 是虚数单位。

2. 黄金比率 Φ 和 φ

其余只有两个方程具有实根：

方程

x^2+x-1＝0 (1)

其解x为

(-1±√(1+4) )/2＝(-1±√5)/2；

方程

x^2-x-1＝0 (2)

其解x为

(1±√(1+4) )/2＝(1±√5)/2

记

φ＝(√5-1)/2 ≈ 0.618…， (小写φ)

Φ＝(√5+1)/2 ≈ 1.618…， (大写Φ)

称为黄金比率。通过简单计算得到

Φ－φ＝1， (3)

Φ・φ＝1 (4)

3. 黄金比率只含数1的连分数表达式

因为小写φ满足方程(1)，所以代入后推得

φ＝1/(1＋φ) (小写φ) (5)

大写Φ满足方程(2)，代入后推得

由(5)式平方后分别得到

Φ＝1＋1/Φ (大写Φ) (6)

于是按(5)式迭代下去，小写φ可展成连分数

(7)

由(3)式可知大写Φ＝1＋φ，于是Φ的连分数为

(8)

于是按(6)式迭代下去，大写Φ也可展成与(8)式同样的连分数。

4. 黄金比率只含数1的无限嵌套平方根表达式

(5)和(6)式分别可改写成

φ＝√(1-φ) (小写φ) (9)

Φ＝√(1+Φ) (大写Φ) (10)

于是分别按(9)和(10)式迭代下去，小写φ和大写Φ可展成无限嵌套平方根表达式

(11)

(12)

比较这两种不同的迭代方式可以看出，后者只含有加减法、除法或开平方简单运算，所包含的数字只有1。因为生命就是迭代，而这种迭代又是最简单的。越简单的事物就越稳定。所以黄金比率便被自然界的生命所采纳。有无数个实例可以证明。

三，欧拉恒等式





欧拉恒等式

e^(iπ)+1=0

首次发表于 1748 年，出现在莱昂哈德·欧拉的著作《无穷分析引论》

(Introductio in analysin infinitorum)中。

更一般的欧拉公式为

e^(ix) = cos x＋i sin x

当x=π 时的特例就是欧拉恒等式。

欧拉恒等式的证明

欧拉恒等式是通过泰勒级数展来证明。

推导的第一步是利用泰勒级数将函数展开成无穷多项式。

‌指数函数展开‌：

e^x =1+x+x^2/2!+x^3/3!+⋯

‌三角函数展开‌：

sin x = x - x^3/3! + x^5/5! -

x^7/7! + ...，

cos x = 1 - x^2/2! + x^4/4! -

x^6/6! + ...。

将x替换为ix，可得e^(ix)的泰勒级数，其与cosx + i sinx的泰勒级数展开后形式一致，因此

e^(ix) = cosx + i sinx。

代入x=π，利用

cosπ = -1 和 sinπ = 0，

得到e^(iπ)= -1，再等式两边加1，从而推导出欧拉恒等式

e^(iπ) + 1 = 0。

影响及意义

欧拉恒等式被誉为“上帝创造的公式”，它将数学中最基本的五个常数（e, i, π, 1, 0）联系起来。

物理学家理查德·费曼称其为

“我们的珍宝”和“数学中最非凡的公式”。

高斯也曾表示：

“一个人第一次看到这个公式而不感到它的魅力，他不可能成为数学家。”

该恒等式是欧拉公式

e^(ix) = cos x + i sin x

的特例，它将指数函数与三角函数联系起来，因此被誉为“数学中的天桥”。欧拉恒等式将数学里最重要的五个常数联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e 和圆周率π，虚数单位i，数的乘法单位元1，和数的加法单位元0。

这些常数来自数学中完全不同的分支，各自独立发展了几千年，却在欧拉公式中得到了一个统一而优美的表达。这种深刻的统一性，揭示了数学不同领域之间隐藏的内在联系，让许多数学家感到它蕴含着宇宙的终极奥秘，因此称之为“上帝公式”。

欧拉公式在数学、物理学和工程学中具有广泛应用。欧拉公式在物理学中用于描述旋转与频率关系，在信号处理和电气工程（如三相电路分析）中都是不可或缺的基础工具。

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 《上帝的公式》

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泰勒公式

泰勒公式是由英国数学家‌布鲁克·泰勒‌提出的 。‌‌

‌人物身份‌：他是 18 世纪早期英国牛顿学派的代表人物之一 。

‌提出时间‌：一般认为是 1715 年，他在著作《正的和反的增量方法》中正式发表了该公式 。

‌主要贡献‌：利用多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线，在近似计算和计算机科学上作用很大 。‌‌

想了解泰勒公式在现代科技中的具体应用案例吗？比如它如何帮助计算复杂函数的近似值。



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 《宇宙万物有形生长有序》

四，自然常数 e 的由来与计算



1. 源于复利计算

复利计算就是俗称的“利滚利”，利息会变成本金继续生息 。‌‌

伯努利（Jacob Bernoulli）在1683年研究复利时发现的数学极限：

当本金为1，年利率100% (＝1)，计息次数 n，如果每月计息，那么n＝12，

第1个月本利和为 1+1/12，第2个月本利和为(1+1/12)^12。

如果这一年的计息次数n无限增加，就是计算

由此定义了自然常数 e≈2.71828…。

2. 极限 lim (1+1/n)^n ， n→∞

首先证明(1+1/n)^n 单调递增有界。

【证明】



(1)单调性证明

将an＝(1+1/n)^n 按二项式定理展开为

比较展开式(1)和(2)，每个和项的每个因子都是正数，且对于所有m，m<n，有

后者＝1-m/(n+1)＞1-m/n＝前者，

並且(2)式比(1)式多了第n+1项为正数：

连乘积(1-1/(n+1))(1-2/(n+1))

…(1-n/(n+1))＞0

因此该数列单调递增。



(2)有界性证明

可用数学归纳法容易证明

当 n ≥ 4时，2^n＜ n！成立。

再递推计算

1+1+1/2+1/2^2+…+1/2^(n-3)

+1/2^(n-2)+1/2^(n-2)

＝1+1+1/2+1/2^2+…+1/2^(n-3)

＋1/2^(n-3)

＝1+1+1/2+1/2^2+…+1/2^(n-4)

＝……＝1+1+1/2+1/2^(2-1)

＝1+1+1/2+1/2＝3

因此该数列有上界。

因为单调递增有界数列必有极限存在，可以记数e为这个极限。

3. e 的阶乘表达

按泰勒公式展开 e^x 在 ×=0 处得

e^x = ∑_{k=0}^∞ x^k/k!

= 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + •••

代入×=1，即得

e = ∑_{k=0}^∞ 1/k！

=1/0！+ 1/1！+1/2！+1/3！+ •••

=1+1+ 1/2！+1/3！+ •••

4. 求极限 lim(1＋1/x)^x，x→ ∞

一开始人们想用公式 (1＋1/n)^n，n＝1，2，3，… 计算e 的近似值，可最后遇到瓶颈，无法进行下去。

同样公式用Maple Calculator 计算 e ，效率提高很多，但最后因手机计算器小数位数限制，在n＝143 时终止。

5. 用阶乘倒数和序列计算 e

把自然数阶乘的倒数一直加下去。

用Maple Calculator 计算 e 的近似值

⬆ 这是Maple Calculator能计算出的最多位数(12位)小数值的e值

e ≈ 2.718281828459

可知自然对数e的值保留3，5位小数是

e ≈ 2.718

e ≈ 2.71828

自然对数e的值保留20位小数是

e ≈ 2.71828182845904523536

五，圆周率 π 的由来与计算





在分析学里，方程

sin x = 0

的最小正数解x＝π。

圆周率是指圆周长与直径的比值，即

圆周率 = 圆周长÷直径，

也等于圆面积与半径平方之比，即

圆周率=圆面积÷半径^2，

一般用希腊字母π表示。

圆周率是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。

圆周率是一个无理数，即无限不循环小数。在日常生活中，通常都用3.14代表圆周率去进行近似计算。而用九位小数3.141592654便足以应付一般计算。即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算，充其量也只需取值至小数点后几百位。

1665年，英国数学家约翰·沃利斯（John Wallis）出版了一本数学专著，其中他推导出一个公式，发现圆周率等于无穷个分数相乘的积。2015年，罗切斯特大学的科学家们在氢原子能级的量子力学计算中发现了圆周率相同的公式。

2021年8月17日，瑞士研究人员使用一台超级计算机历时108天将圆周率计算到小数点后62.8万亿位。

2025年11月23日，Storage Review团队将圆周率计算到小数点后314万亿位，创下了圆周率计算的最精确纪录。

六，黄金比率Φ与黄金螺线



1. 对数螺线



对数螺线的极坐标方程

ρ = a e^(bθ),

式中ρ为螺线上一点P（O，θ）的极半径，O为极点，θ为极角，a，b为常数，a＞0，b＞0，e为自然对数底。曲线形状如下

对数螺线具有性质

【性质1】对数螺线上点P＝ρ(O，θ）)的切线与极半径OP的夹角β为常数

β = arccot （b）

【性质2】

由极点O发出的一条射线与对数螺线依序相交于P1，P2，P3，…，对应它们的径矢序列(或极半径)ρ1，ρ2，ρ3，… 成等比级数，其公比q为

q = e^(2πb)

证明见笔者美篇文章《数学之美》的第三段第1节性质1，2。

2. 黄金螺线

黄金螺线的极坐标方程

ρ = a e^(bθ),

式中a＞0和b为常数，特别取

说该螺线具有以下性质

【性质1】 等角性（恒定切线角）：螺线上任一点的切线与径矢（从极点到该点的连线）的夹角β 满足

cot β = b，即 β = arccot b

螺线与所有过中心的射线的交角都约等于

β ≈ 85.62°

【性质2】 径矢增长因子恒定为黄金比率Φ＝1.618…，即由极点发出的一条射线与对数螺线依序相交于P1，P2，P3，对应它们的径矢(或极半径)分别为ρ1，ρ2，ρ3，后者与前者之比为常数Φ。

【证明】

记黄金比率Φ＝(√5＋1)/2，则

b＝ln(Φ)/(2π)，

ρ(θ)＝a e^(ln(Φ)θ/(2π))。

当曲线上的点每次绕极点转完一圈，即θ→θ＋2π，则

ρ(θ＋2π)

＝a e^(ln(Φ)(θ＋2π)/(2π))

＝a e^(ln(Φ)θ/(2π))

e^(ln(Φ)2π)/(2π))

＝a e^(ln(Φ)θ/(2π)) e^ln(Φ)

＝a e^(ln(Φ)θ/(2π)) Φ

＝Φ ρ(θ) ，

这表明，径矢长转完一圈后为原来的Φ倍。

这类特例常被称为“黄金螺线”。

螺线与所有过中心的径矢长成等比级数增长，其公比为黄金比率Φ。

另一类严格数学定义的黄金螺线，特别取

b = 2 In Φ /π，

同理可证该类螺我的径矢长转完1/4圈(π/2孤度)后为原来的Φ倍。

具有恒定切线角

螺线与所有过中心的射线的交角都约等于

β ≈ 73°

3. 斐波那契螺线



在以斐波那契数列的各数，从1 开始，为边画一系列相邻的正方形，再在这些正方形中各画一个90度的扇形弧线，把这些弧线首尾连接而成的折线式“螺旋”，曲率在连接点跳跃，该类曲线称为斐波那契螺线。

应注意，斐波那契螺线制作中的每个1/4 圆弧的圆心是不同的，而对数螺线所对应的中心是固定的极点O，所以斐波那契螺线是近似的对数螺线。

因为生命就是迭代，而这种选代又是最简单的，越简单的事物就越稳定。

所以黄金比率便被自然界的生命所采纳。

在绘图中的截取与延伸，这些公式便是黄金比率的灵瑰，它们赋予自然界以生命，可以延续，可以遗传，以致无穷，像时间和宇宙那样。

艺术和数学完美的融合。

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《时空生命法则》

七，世界上最美的十个数学公式



【注】勾股定理（直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和），研究完全数、三角数等特殊数。

到底是谁最先证明的，在历史上其实是一笔糊涂账，不同地区有不同说法：

‌西方说法‌：归功于毕达哥拉斯学派（约公元前 6 世纪），但历史学家发现毕达哥拉斯本人没有留下手稿，最早文字记录出现在他死后几百年 。

中国说法‌：《周髀算经》中记载了商高提出的“勾三股四弦五”，但一般性证明最早见于三国时期赵爽的《勾股圆方图注》。

‌客观事实‌：古巴比伦和古埃及人更早掌握了勾股数的应用，但将其上升为通用定理并给出证明，古希腊和中国古代数学家都做出了独立贡献 。‌‌

附件 备查公式

曲线y=e^x在任意点处的斜率也是e^x；曲线与坐标轴之间的面积也是e^x。換句话说，e^x的导数和积分都等于它自己。

函数 e^x 是所有数学中唯一一个函数，使上面的两点都成立。

二项式系数 (组合数)

二项式定理

求导链式法则

求导洛必达法则

求e^x 的导数

求f(e^x)的极限

函数乘积求导

对数函数求导

参考笔者美篇文章

数1 2021-09-24

数7揭秘 2022-04-01

数1 (续) 2022-11-04

分形艺术 2023-05-23

数学之美 2024-01-02

“0” 之源 2024-05-05

美之序列 2024-05-08