豆包详解初二几何题

四海为家

初二几何题详解：∠C=20°（截长法+补短法双解）

先给结论：∠C=20°。下面用两种经典方法一步步讲透，帮你轻松给孩子讲明白。

一、截长法（推荐，步骤更直观）

已知条件：△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，AB+BD=CD。

步骤1：构造辅助线

在CD上截取点E，使DE=BD，连接AE。

因为AD⊥BC且DE=BD，所以AD是BE的垂直平分线。

根据“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”，得AB=AE，△ABE是等腰三角形，故∠B=∠AEB。

步骤2：转化线段关系

已知AB+BD=CD，又CD=DE+EC，且DE=BD，代入得：

AB+BD=BD+EC → AB=EC。

又因AB=AE，故AE=EC，△AEC是等腰三角形，得∠EAC=∠C。

步骤3：用外角定理建角度关系

∠AEB是△AEC的外角，根据“三角形外角等于不相邻两内角和”：

∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C。

又∠B=∠AEB，故∠B=2∠C。

步骤4：用内角和求解

△ABC内角和180°，∠BAC=120°，故∠B+∠C=60°。

代入∠B=2∠C，得2∠C+∠C=60° → 3∠C=60° → ∠C=20°。

二、补短法（另一种思路，拓展思维）

步骤1：构造辅助线

延长DB到点F，使BF=AB，连接AF。

此时DF=DB+BF=DB+AB，由已知AB+BD=CD，得DF=CD。

因AD⊥BC，故AD是CF的垂直平分线，得AF=AC，△AFC是等腰三角形，∠F=∠C。

步骤2：分析等腰三角形角度

BF=AB，故△ABF是等腰三角形，∠F=∠BAF。

∠ABC是△ABF的外角，故∠ABC=∠F+∠BAF=2∠F=2∠C。

步骤3：求解角度

同截长法，∠B+∠C=60°，代入∠B=2∠C，得∠C=20°。

关键思路总结

1. 截长补短法：遇到“线段和差”（如AB+BD=CD），优先考虑截长或补短构造线段相等，转化为等腰三角形问题。

2. 垂直平分线性质：AD⊥BC且截/补后线段相等，可推出等腰三角形，实现边与角的转化。

3. 外角定理：连接等腰三角形与整体角度关系，建立方程求解。

✅ 最终答案：∠C=20°