也说复合函数（七彩兰馨原创随笔）

七彩兰馨诗歌

　　　　也说复合函数

——读《微积分》数学笔记之四

自然界万事万物的变化是复杂的，一事物的变化，可以是多事物变化引起的。例如，天体运行中，地球在宇宙中的位置。现代科技证明，地球每时每刻绕着太阳转，太阳系每时每刻环绕银河系中心转，银河在宇宙中也是运动的。所以地球在宇宙中的位置，每天都是新方位。

传统文化中的“天人合一”的观念，即是《道德经》中“德”是“道”的化身，是自然之道在人类社会体现的最为精炼的语言表述。现代科技越来越多的表明，“地球养人，人养地球”。自然现象与人类社会相互影响变化的关系，就是数学中函数关系的体现。

具体到经济发展的社会现象，具体到经济现象的个别事例，如企业的核算中，成本与利润的关系，各项成本对总成本的影响，都是数学中的函数关系的体现。

例如：

1.总成本=可变成本+固定成本

2.可变成本=产品产量成本+人工成本

在第2项中：

（1）若人员固定，产量变化时，可变成本仅有一项。

（2）若人员变化，产量固定时，可变成本也是仅有一项。

（3）若人员变化，产量变化时，引起可变成本变化的因素就是两项。

由个别事例到一般规律的表述为：当一事物变化受多事物影响，并且影响一事物变化的多事物是平行关系的话，即是多元函数研究的内容。

在上述例题中，企业总成本受可变成本影响，可变成本又受或“产量成本”或“人工费用”的影响，如果将引起可变成本的变化因素固定在其中一方面时，分析总成本的变化情况即是复合函数的内容。

即：A事物受B事物影响，B事物受C事物影响，影响A事物的因素不是平行关系。在这种情况下，先对事物之间的相互影响的关系进行综合分析，然后根据直接影响和间接影响的程度，确定事物影响的层次，用复合函数的求导法则，分组确定复合函数的变化率。

这种复合函数的关系，在自然界和社会中比比皆是。所以微积分研究函数规律，复合函数是不可或缺的内容。数学家给了以下求复合函数导数的方法。

先用通俗的语言表达：如果两事物之间确有函数关系存在，并且有变化率和变化趋势（数学语言是：函数在给定点x处可导），这种变化率的函数关系为：被引起变化的事物的量与引起事物变化的中间变量的比率，乘以，引起中间变量变化的量与基础变量的比率（数学语言应该是：“最终变量与中间变量的比率”乘以“中间变量与起始变量的比率”）。

如果用ABC来形容三个有复合函数关系的事物的量，即A是函数的量，B是中间变量，C是自变量。

复合函数的导数即是：量A对量B的变化率与量B对量C的变化率的乘积。

附注

文章中的“变化率”是函数的导数，即：导数的物理意义——量Y对量X的变化率。