一类两动线和最小值的解析通计道法（文220）

微风

　　有一类图形和条件都类似如下求两动线和的最小值试题，正逐渐成为中考的命题热点题型。

　　上述两道关于两动线和最小值的试题图都没有堆积线角条件，如果能根据简明的图形条件顺畅求得答案分别是12、6√3.，那就用不着浪费时间阅读此文档了.

一、 不同形态的两动线和最小值，召唤不同的变线计谋技法

　　理解问题（1）中的两个动点N、D都再无其它约束条件，则看懂这是关于两链接动线段和的普通最小值形态.

那么由两端点M、D都在链接动点N所在线段BC的同侧，意识到只需施以“ “定变异，动变垂”的变线技法，就能得到两链接动线和的最小值型态，然后展开计算思维得解.

问题（2）选自2025年新疆压轴试题中的最值问题.

　　所以问题（2）是线动点链接两动线和的高阶最小值形态， 则可用(文217) 《在赏析中考压轴题中成长》讲述的选定模特三角形后，召唤“相似再画思维”去变线的四个技法求解。

　　那么层层搭建的解析思维是：

① 利用两离散动线条件作旋心三角形确定旋心，并得到它的边比，

② 将旋心分别与两个动点连接，先证旋心点分别与一定一动两点形成的两三角形相似，再证旋心点与两动点形成的三角形与旋心三角形相似，进而将两动线和中的双动端点线段变换成旋心定点与链接动点相连的单动端点线段

③确定最小值形态计算两定点连线的长度.

即问题(2)的解析思维搭建是：

分析：认识到问题（1）（2）都是在设置了两离散动线BE =k•CF的条件下求两动线和的最小值,且它们都涉及一个定点A和两个线动点E、F，

　　认识理解问题（2）是 “两链接动线”与“两离散动线”共两个动端点E、F的高阶两线和最小值型态，那么召唤构造旋心三角形的变线法，把双动端点的线段EF变换成单动端点的线段后展开计算思维.

易知两离散动线BE与CF隐藏的夹角是90°，则旋心角∠BPC=90°，.则把BE =2CF的两动点E、F换成旋心点P，得旋心△PBD的两边比为PB=2PC，

于是得到关键性的思考结论——根据两离散动线条件BE =2CF，构造以两离散动线的两定点连线BC为边，∠BPC=90°，两边比为PB=2PC的旋心直角三角形.

反思：类似本题问题（2）这样 “线动点链接两动线和的最小值”与“两离散定比动线”共两个动端点的图形结构，不妨简称为“两链接动线的和”与“两离散动线”共两动端点，

此类关于两链接动线和的高阶最小值问题，正逐渐成为近年一些地方中考几何最值试题的热点题型。其核心的命题套路一是设置单动端点线段和双动端点线段被线动点链接的两动线和最小值问题；二是配置两离散动线段a、b的数量条件a=k•b；三是两链接动线与两离散动线共两个动端点.

解析此类在两离散动线条件下，求两链接动线和的高阶最小值试题，计谋一是将双动端点的动线段变换成单动端点的动线段，计谋二是确定最小值型态后展开计算思维.

显神威的解析套路技法是根据两离散动线条件构造旋心三角形后，通过两对旋转相似的三角形，把双动端点的线段变换成单动端点的线段， 从而转化为低阶或普通的两动线和最小值问题求解。

反思：上述试题的两问，虽都是在设置了两离散动线a、b的定比条件a=k•b下，求两动线和的最小值，但要看懂两条动线段是链接形态？还是离散形态？两链接动线段中是否有双动端点的线段？然后才能根据两动线段和的形态，利用a=k•b的两离散动线，激活不同的添线构形计谋技法去变线解析.

注意：要认识到构造旋心三角形就是要利用它的边比去把双动端点的动线变换成单动端点的线段。所以，计算出旋心三角形的边比，才能完成变线的解析任务。

二、变换双动端点线段，求两链接动线和的高阶最小值

从上述最值试题的解析看出，在设置了两离散动线的条件下，求单动端点线段和双动端点线段被线动点链接的两动线和高阶最小值，显神威的是根据两离散动线条件构造旋心三角形，使得能够通过两对相似三角形实现变线.

下面编制、选取一些此类高阶型态的两动线和最小值试题，召唤利用两离散动线条件构造旋心三角形的计谋技法解析.

分析：由AB=6 ，BD=2AD，得知BD=4，AD=2，

从两动线和DF+EF涉及到的三个点D、F、E看，是单动端点线段DF和双动端点线段EF被线动点F链接的形态，从设置的两离散定比动线段AE=√2BF的端点看，A、B是定端点，E、F是动端点.

则一眼看懂这是“线动点链接的两动线段和”与“两离散动线”共两个动端点E、F的高阶最小值型态,那么召唤“构造旋心三角形的变线法”解析.

　　那么问题转化为普通的最小值问题：求两定点P、D与线动点M相连后，两动线和PM+MD的最小值.

分析：∵∠C=75°,∠ABC =60°,

∴∠A=45°，

∵BD⊥AC ,∴△DAB是等腰直角三角形.

一眼看懂是“线动点E链接的两动线EF、EG”与“两离散动等线BE=DF共两个动端点E、F的型态, 那么激活构造旋心三角形的变线法求解.

分析：一眼看懂是“线动点E链接的两动线AE、ED”与“两离散动等线BE=DF共两个动端点E、F的图形型态, 那么激活构造旋心三角形的变线法求解.

分析：∵直线y=3x+6交坐标轴于A、B两点，

∴点A为（0,6），点B为（-2,0），则AB的中点C为（-1,3），

看懂√2CD+DE中的两动线段CD、DE被线动点D链接，则意识到条件OE=OD+OB隐藏着两离散动线段的数量条件,

于是在OE上截取OG=OB=2，得OE=EG+OB，由此挖掘出隐藏的两离散动等线条件EG=OD ，

那么呈现出“线动点D链接两动线CD、DE”与“两离散动等线线EG、OD共两动端点D、E的图形型态, 于是召唤““构造旋心三角形的变线法”解析.

易知两离散线段EG与OD隐藏的夹角等于90°，再由EG=OD 想到PG=PO，则得到关键性的思考结论——在OG下方构造以0G为底边，∠OPG=90°，PG=PO的旋心等腰直角△POG.

分析：一眼看懂√2CD+DE中的两动线段CD、DE被线动点D链接，则敏锐地意识到条件BF+BC=BE隐藏着两离散动线段的数量条件

于是在BE上截取BG=BC=2，得BE=BG+EG= BF+BC，由此挖掘出隐藏的两离散动等线EG=BF ，

那么呈现出“线动点F链接两动线DF、EE”与“两离散动等线线EG=BF共两动端点E、F的图形型态, 那么召唤““构造旋心三角形的变线法”解析.

易知两离散线段EG与BF隐藏的夹角等于90°，再由EG=BF 想到PG=PF，则得到关键性的思考结论——在BG左侧下构造以0G为底边，∠OPG=90°，PG=PF的旋心等腰直角△POG.

分析：一眼看懂√2CD+DE中的两动线段CD、DE被线动点D链接，则敏锐地意识到条件BF+BC=BE隐藏着两离散动线段的数量条件

于是在BE上截取BG=BC=2，得BE=EG+BG= BF+BC，由此挖掘出隐藏的两离散动等线条件EG=BF ，

那么呈现出“线动点F链接两动线DF、EE”与“两离散动等线线EG=BF共两动端点E、F的图形型态, 那么召唤““构造旋心三角形的变线法”解析.

易知两离散线段EG与BF隐藏的夹角等于90°，再由EG=BF 想到PG=PF，则得到关键性的思考结论——在BG左侧下构造以0G为底边，∠OPG=90°，PG=PF的旋心等腰直角△POG.

　　于是有技法地计算PH的长度: