既听传统故事，也习其中数学：《乌鸦喝水》故事成立的瓶中最小水量

湖上明月

　　《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中的经典寓言，讲述乌鸦通过向水瓶投掷石子使水位上升，最后喝到水的故事，包含着遇到困难不轻易放弃，而是想办法解决，并且坚持不懈的哲理。

但是，仅此就够了吗？乌鸦利用该方法喝上水，是一种必然的结果，还是偶然的幸运？其中的科学问题是饼子中有多少水，乌鸦才能通过此方法实现目标。

从数学上来说，假设：（1）瓶子为圆柱体，类似矿泉水瓶，不考虑柱体变径以上部分体积；（2）投入瓶中的石子概化为直径相同的球状；（3）石子落入瓶中后，按紧密排列堆积（如同蜂窝状），则按照公式计算得出瓶中石子的体积占瓶子总体积的74%，即空隙率是26%，这空隙率就是水需要填满空间的比例，即紧密排列条件下瓶中至少有26%体积的水，水面才能到达柱体最顶端，乌鸦通过它的长嘴喝到水。考虑到乌鸦投下的石子不可能是紧密排列，而是随机排列堆积，统计规律表明，随机排列条件下空隙率为36%，即需要瓶中有36%体积的水，乌鸦才能喝到。

上述相同直径（分选性）球状（磨圆度）石子的计算是理想状态，故事中乌鸦叼的石子磨圆度不可能如球状，分选性也不可能大小一样，现实条件下乌鸦能否喝到水，取决于石子的磨圆度和分选性，二者决定空隙率大小，分选性越差则空隙率越小，磨圆度越差则空隙率越大。也就是说乌鸦扔下的石子构成的堆积体的空隙体积与瓶中水的体积相等即可喝到水，如果把空隙率设为a、水瓶柱体高度设为H、乌鸦喝到水的水体最小高度为h，则h=aH。

故事中说，“水瓶里水太少了”“它叼来许多石子，把它们一块一块地投到水瓶里。随着石子的增多，水瓶里的水也一点儿一点儿地慢慢向上升……终于，水瓶里的水快升到瓶口了，而乌鸦总算可以喝到水了”。看来虽然瓶子里的水太少，它投掷的石子颗粒大小组合所形成的空隙率还是能够和原来瓶中水体积的占比相等的。考虑到“乌鸦一气之下，从不远处叼来一块石子，朝着水瓶砸下去。它本想把水瓶砸坏之后饮水”，叼来的石子直径应该是比较大的，这就需要它在随后投入的石子大小要有所智慧的选择，否则，是否喝到水就只凭运气或理想状态或作者的想当然了。

附：乌鸦喝水的故事

一只乌鸦口渴了，它在低空盘旋着找水喝。找了很久，它才发现不远处有一个水瓶，便高兴地飞了过去，稳稳地停在水瓶口，准备痛快地喝水了。可是，，瓶口又小，瓶颈又长，乌鸦的嘴无论如何也够不着水。这可怎么办呢？

乌鸦想，把水瓶撞倒，就可以喝到水了。于是，它从高空往下冲，猛烈撞击水瓶。可是水瓶太重了，乌鸦用尽全身的力气，水瓶仍然纹丝不动。

没想到石子不偏不倚，“扑通”一声正好落进了水瓶里。

乌鸦飞下去，看到水瓶一点儿都没破。细心的乌鸦发现，石子沉入瓶底，里面的水好像比原来高了一些。

“ 有办法了，这下我能喝到水了。”乌鸦非常高兴，它“哇哇”大叫着开始行动起来。它叼来许多石子，把它们一块一块地投到水瓶里。随着石子的增多，水瓶里的水也一点儿一点儿地慢慢向上升……

终于，水瓶里的水快升到瓶口了，而乌鸦总算可以喝到水了。他站在水瓶口，喝着甘甜可口的水，心里是那么痛快、舒畅。