三角形的莫利心

蛇王天成

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段 落

编者的话

一，从计算60°角入手证法

二， 从计算边长入手证法

三，莫利正三角形构造性证法

附录

1. 正弦定理与余弦定理

2. 正弦三倍角公式的证明

3. 三角形的循环对称结构

编者的话

任意三角形有中心，重心，垂心，内心，外心，旁心，费马心七个心，前五个心大家都的熟悉，旁心和费马心很少见到。本文提及的莫利定理中的莫利正三角形的中心，因为正三角形的中心集重心、垂心、内心和外心为一体，笔者想命名它为任意三角形的莫利心(或正心)。

莫利定理（Morley's Theorem）：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三等分角线相交得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形，称为莫利正三角形。

莫利定理是是由英国数学家弗兰克·莫利（Frank Morley）于1899年发现，1904年首次公开，是20世纪初几何学的重要突破。‌‌

角三等分无法用尺规作图实现，但定理证明其交点必然形成完美正三角形，揭示几何的深层循环对称性。‌‌

证明方法多样（如三角函数法、复数法），莫利本人最初使用的证明基于复数和高次方程，较为复杂。但没有指出来源，无法查实。后来者，特别是网上查到的证法，有一篇署名王海燕和王学贤的文章，莫利定理美妙的复数证明，发表在《中学数学杂志》（高中）2002年第1期，有兴趣的读者可找来阅读研究。笔者选中三种不同思路且较为简明的证法，经过仔细推导检查改写，将它们呈现本文中，在此对原作者刘金堂，新之韧和 biboss bilibili 深表感谢！

莫利定理及其证明具有独特价值‌，常用于培养逻辑推理能力。‌‌和实际应用‌，比如

计算机图形学，生成几何图案或测试软件精度。‌‌

数学教育，简化证明可帮助学生理解几何定理的推导。‌‌

对本文可能出现的错误和不当之处，肯请读者批评指正。

笔者

一，从计算60°角入手证法



【证明】

分别在不同外接圆的三个三角形△AEC， △ABC， △AFB中，运用正弦定理，相关的外接圆半径在等式中被消除，再根据正弦三倍角公式可得

AE /AF = AE /AC • AC/AB • AB/AF

= sinγ /sin(α+γ) • sin 3β /sin3γ

• sin(α+β) /sin β

= sinγ /sin(60°-β)

• sin 3β /sin3γ

• sin(60°-γ) /sinβ

= sinγ /sin(60°-β)

• sin(60°-γ) /sinβ

• sinβ • sin(60°+β) • sin(60°−β)

/ sinγ • sin(60°+γ) • sin(60°−γ)

= sin(60°+β) / sin(60°+γ) ，

因此

AE/sin(60°+β)＝AF/sin(60°+γ) ，

(1)

在△AFE中，由正弦定理可知

AE /sin(∠AFE)＝AF /sin( ∠AEF) ，

(2)

比较(1)式和(2)式

∠AFE＝60°+β < 180°

(3)

这是因为α+β+γ＝60°，所以

60°+ β＝β+(α+β+γ)

< 3α+3β+3γ＝180°

在 △BDC， △BCA，△BDF中，

类似的推理，可得

BF/BD = sin(60°+α) / sin(60°+γ)

BD /sin(∠BFD)＝BF /sin( ∠BDF) ，

所以

∠BFD＝60°+α < 180°

(4)

所以由(3)式和(4)式得到

∠DFE＝360°－∠AFB－∠AFE－∠BFD

＝360°－(180°－(α+β))

－(60°+β)－(60°+α)

＝ 60°

根据三角形的循环对称结构，同理可证 ∠FDE＝60°，因此△DEF是正三角形。

证毕。

二， 从计算边长入手证法



【证明】

设 △ABC外接圆直径为D，则由正弦定理

BC/sin3α = AC/sin3β

= AB/sin 3γ = D，

其中 α+β+γ=60°。在△ABC中，只用了计算BC边长度的部分，即

BC＝D sin3α

(1)

但是，在△BCD中，它的外接圆直径不等于D，仅运用正弦定理的边角比例关系。把(1)式中的BC值代入，得到

BD/sinγ = BC /sin(β+γ)

= D sin3α /sin(60°−α)，

所以

BD = D sinγ sin3α /sin(60°−α)

【注】这样处理才能在两个外接圆直径不等的三角形中使用正弦定理时不致混淆。

然后，由正弦三倍角公式

sin3φ = 3sinφ - 4sin³φ

= sinφ(3-4sin²φ)

= 4sinφ sin(60°+φ) sin(60°−φ)

得到

BD = 4D sinγ sinα sin(60°+α)

(2)

根据三角形的循环对称性，在△ABF中，同理可得

BF/sinα = AB /sin(α+β)

= D sin3γ /sin(60°−γ)，

所以正弦三倍角公式可得

BF = 4D sinα sinγ sin(60°+γ)

(3)

在△BDF中，根据余弦定理

DF² = BD²+BF² - 2• BD • BF • cosβ

将(2)式和(3)式代入上式得

DF² = (4D sinα sinγ)²

• (sin² (60°+α) + sin²(60°+γ)

- 2 sin(60°+α) sin(60°+γ) cosβ)

(4)

因为60°+α＋60°+γ＋β＝180°，可设以60°+α，60°+γ，β为三个角的三角形记作△А'В'С'，其外接圆直径记作D'。由正弦定理得，△А'В'С'的三边长分别为

D' sin(60°+α)，D' sin(60°+γ)，

D' sinβ

根据余弦定理，得到边D' sinβ 的表达式，再两边除以(D')² ，

sin²β = sin²(60°+α)+sin²(60°+γ)

− 2 sin(60°+α) sin(60°+γ) cosβ)

把(4)式代入(3)式，可得

DF² = 16D² sin²α sin²β sin²γ

两边开方得

DF = 4D sinα sinβ sinγ

根据三角形的循环对称性，类似地可以证明

FE = ED = DF＝4D sinα sinβ sinγ

因此△DEF为等边三角形。

证毕。

三，莫利正三角形构造性证法



【证明】

设 ∠A＝3α，∠B＝3β，∠C＝3γ。

任作一正三角形 △D'E'F'（边长为l），

取A' 使

∠A'F'E' = 60°+β，

∠A'E'F' = 60°+γ

同理，取B'，C'，使

∠B'D'F' = 60°+γ，

∠B'F'D' = 60°+α；

∠C'E'D' = 60°+α，

∠C'D'E' = 60°+β

联结 A'B'，B'C'，C'A'，則见

∠E'A'F' = α，∠D'B'F' = β，

∠E'C'D' = γ

又见

∠A'F'B'

＝360° - (60°+(60°+β)+(60°+α))

＝180° - (α+β)

(1)

在 △A'E'F'和 △B'D'F'中，由正弦定理有

l / sin α＝A'F' / sin(60° + γ)，

l / sin β＝B'F' / sin(60° + γ)

两式相除，得

A'F' / B'F'＝sin β / sin α

(2)

又令 ∠F'A'B'＝α'，∠F'B'A'＝β'，则在在△A'B'F'中，有

∠A'F'B'＝180° - (α'+β')

对比(1)式可得

α+β = α'+β'

(3)

在△A'B'F'中，由正弦定理有

A'F'/ B'F'＝sin β' / sin α'

(4)

由(2)式和(4)式得

sin α sin β' = sin α' sin β

(5)

对(5)式两边积化和差，得

cos(α-β') - cos(α+β')

＝cos(α'-β) - cos(α'+β)

由(3)式知 α-β' = α'-β，則得

cos(α+β') = cos(α'+β)

(6)

注意，由(3)式知，

α+β' < α+∠A'F'E'

= α+60°+β =180°，

(将B'F'连线延长，△A'B'F'的内角∠A'B'F'小于外角，所以β' < ∠A'F'E' )

同样 α'+β < 180°，故由(6)式和余弦函数在区间(0，π/2)的单调性可知

α+β' = α'+β

(7)

又由(3)式知 α= α'+β'−β，代入(7)式得

α'+β'−β+β' = α'+β ，

β' = β ，

同理可得 α' = α 。

由此同理而知其他，便知

∠A' =3α，∠B'=3β，∠C'=3γ

则知

△А'В'С' ~ △АВС

故知

△D'E'F' ~ △DEF

则△DEF 为正三角形。

证毕。

附 录



1. 正弦定理与余弦定理

【正弦定理】

设a、b、c 是三角形ABC的三条边长；A、B、C 分别是 a、b、c 所对的角；R 是三角形外接圆的半径（2R 为直径），则下面公式成立

‌a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R‌



【推论】

三角形任意两边长之比等于其对角正弦之比，比如

a/b＝sinA/sinB

【余弦定理】

设三角形的三边长度分别为a、b、c，且a边对角为 A，b边对角为B，c边对角为C，则下面公式成立

cosA ＝(b² ＋c²－a²)/(2bc)

cosB ＝(a² ＋c²－b²)/(2ac)

cosC ＝(a²＋b² －c²)/(2ab)

2. 正弦三倍角公式的证明

【正弦三倍角公式一】

sin(3φ) = 3 sinφ - 4 sin³φ

【证明】

用正弦和角公式

sin(A + B)

＝sinA cosB + cosA sinB

可得

sin(3φ) ＝sin(2φ + φ)

＝sin2φ cosφ + cos2φ sinφ

再用正弦余弦二倍角公式

sin2φ ＝ 2 sinφ cosφ，

cos2φ ＝1 - 2 sin²φ，

代入上式化简得到

sin(3φ)＝2 sinφ cosφ cosφ

+ (1 - 2 sin²φ) sinφ

＝2 sinφ (1 - sin²φ)

+ sinφ - 2sin³φ

＝3 sinφ - 4 sin³φ

证毕。

【正弦三倍角公式二】

sin(3φ)

= 4 sinφ sin(60°+φ) sin(60°-φ)

【证明】

用正弦平方差公式

sin²A - sin²B = sin(A+B) sin(A-B)

和 sin(60°)＝√3/2

可推出

3 - 4 sin²φ = 4 ((√3/2)² - sin²φ))

= 4 ((√3/2)² - sin²φ)

= 4 (sin²60° - sin²φ)

= 4 sin(60°+φ) sin(60°- φ)

于是得到

(3 - 4 sin²φ)/ sin(60°-φ)

= 4 sin(60°+φ)

再在上式两边乘以sinφ，根据上面正弦三倍角公式一，最后推出

sin(3φ)

= 4 sinφ sin(60°+φ) sin(60°-φ)

证毕。

【正弦和角公式】

sin(A + B)

＝sinA cosB + cosA sinB

【正弦差角公式】

sin(A － B)

＝sinA cosB － cosA sinB

【余弦和角公式】

cos(A + β)

＝cosA cosB－sinA sinB

【正弦二倍角公式】

sin2A ＝ 2 sinA cosA

【余弦二倍角公式】

cos2A＝cos²A－sin²A

＝2 cos²A－1 ＝1－2 sin²A

3. 三角形的循环对称结构

正弦定理揭示了任意三角形中边长与其对角正弦值之间的一种‌比例对称关系‌，这种关系可以被理解为一种“循环对称结构”。这种结构的“循环对称性”体现在以下几个方面：

‌(1) 边与角的严格对应‌：

每一条边都与其所对的角形成一个确定的比值关系，即“边 → 对角”的映射是唯一且循环的。a 对 A，b 对 B，c 对 C，这种对应关系在三个顶点间形成一个闭合的循环。

‌(2) 比值的恒等性‌：

三个比值 a/sinA、b/sinB、c/sinC 完全相等，且都等于外接圆的直径 2R。这意味着，无论从哪一对边角开始计算，得到的数值都相同，体现了系统内部的均衡与对称。

‌(3) 外接圆的统一性‌：

所有边角对都通过同一个外接圆直径 2R 联系起来，这表明三角形的三个顶点共同位于一个圆上，而这个圆是这种对称结构的几何基础。圆的对称性决定了三角形边角关系的对称性。

‌(4) 可互换性‌：

在解题时，可以任意选择两个边角对进行比例计算，例如已知 a、A 和 b，可直接用 a/sinA = b/sinB 求 B，这种任意性反映了关系网络中的无差别对称。

因此，正弦定理所反映的“循环对称结构”，本质上是‌三角形三组边角对在同一个外接圆框架下，其比值保持恒定、相互等价的循环闭合关系‌。这种对称不是几何形状的旋转对称，而是‌数量关系上的循环等价对称‌，是三角形内在边角规律的高度抽象与统一的表达。‌

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