构造对偶式在数列中的应用

云中龙

深夜的台灯下，草稿纸铺满了书桌，我正盯着那道数列不等式题发愣。通项公式写在纸角，前n项和的表达式在另一侧静静躺着，像一对对称的舞伴，只差一个动作就能共舞。忽然，一个念头闪过——如果把原式“翻过来”，构造一个对偶式，会不会像照镜子一样，照出隐藏的对称美？我提笔写下对偶式，红色笔迹在纸上蔓延，像一条指引方向的红线。平方根与分数在等号两侧呼应，求和符号下，两个式子悄然相加，化简后竟浮现出基本不等式的影子。原来，构造对偶式不只是技巧，更像是一种数学的诗意：让不对称的问题，在对称的镜像中找到平衡。

那晚我翻出旧笔记本，一页页翻过曾经的解题痕迹。一道关于正整数序列的不等式题跳入眼帘，解析部分密密麻麻写满了推导过程。我依稀记得当时卡在转化步骤，直到灵光一现——为何不试着构造它的“另一半”？于是我在原式旁写下对偶式，像为孤独的公式找一个伴侣。红色批注写着：“此处利用对称性，两式相加可消去复杂根号。”那一刻，仿佛看到两个数列在纸上牵手，一步步走向简洁的结论。构造对偶式，不只是为了计算，更像是在混乱中建立秩序，在繁复中寻找对称的美感。数学从不缺少诗意，只是我们常忘了用对称的眼睛去看。