<p class="ql-block"><b> 训练17：自行车里的数学</b></p><p class="ql-block"><b> 重点：</b>通过实践活动，研究普通自行车的速度与其内在结构的关系。研究变速自行车能变化出多少种速度的组合数。</p><p class="ql-block"><b> 难点：</b>研究普通自行车的前齿轮齿数、后齿轮齿数与它们的转速的关系。</p><p class="ql-block"><b> 教学方法：</b>合作探究。</p><p class="ql-block"><b> 教学准备：</b>普通自行车实物、变速自行车实物、测量记录表、磁力扣。</p><p class="ql-block"><b>热身：</b></p><p class="ql-block"> 上课！同学们好，请坐。</p><p class="ql-block"><b>一、谈话导入，揭示课题</b></p><p class="ql-block"> 教师出示普通自行车实物。</p><p class="ql-block"> 同学们，这是老师准备的一辆普通自行车。它里面蕴含着丰富的数学知识。</p><p class="ql-block"> 你们看车架子是三角形的，这利用了——</p><p class="ql-block"> 对！利用了三角形的稳定性。车轮是圆形的，圆心到圆周的距离都相等，因此车子运行起来非常平稳。</p><p class="ql-block"> 今天我们就一起来探究自行车里的数学。</p><p class="ql-block"><b> 板书课题：自行车里的数学。</b></p> <p class="ql-block"><b>二、探究新知，建立模型</b></p><p class="ql-block"> （一）研究普通自行车的速度与内在结构的关系。</p><p class="ql-block"> 1、以疑激趣。</p><p class="ql-block"> 大家知道这辆自行车蹬一圈能走多远吗？怎样解决这个问题呢？</p><p class="ql-block"> 2、分析问题，探索方法。</p><p class="ql-block"> （1）课前，我请几位同学对这辆自行车蹬一圈所行的路程进行了独立测量，请他们来汇报一下测量结果。你来说！</p><p class="ql-block"> 我测的结果是：踏板蹬一圈，自行车行走464㎝。</p><p class="ql-block"> 好！你来说！</p><p class="ql-block"> 我测的结果是：踏板蹬一圈，自行车行走415㎝。</p><p class="ql-block"> 好！你来说！</p><p class="ql-block"> 我测的结果是：踏板蹬一圈，自行车行走450㎝。</p><p class="ql-block"> 这些同学的测量结果各不相同，说明直接测量这种方法不太准确，误差很大。</p><p class="ql-block"> 我们还可以应用所学过的数学知识，通过计算得出蹬一圈自行车能走多远。同学们，这个方法可行吗？</p><p class="ql-block"> 对！可行！那我们就要找出关键问题，建立一个数学模型，然后才能计算，是吧？</p><p class="ql-block"> 同学们，我们一起说一说自行车中关键部件的名称吧！</p><p class="ql-block"> 这是踏板，也叫脚蹬；这是前齿轮；这是后齿轮；前齿轮和后齿轮通过链条连在一起，这是链条。这是车轮，俗称车轱辘。</p><p class="ql-block"> （2）找到关键问题，建立数学模型。</p><p class="ql-block"> 同学们，仔细观察，我们蹬一圈，是什么转动了一圈？</p><p class="ql-block"> 对！我们蹬一圈，前齿轮就转动了一圈。那么，车轮转动的圈数实际是谁转动的圈数？</p><p class="ql-block"> 对！车轮转动的圈数是后齿轮转动的圈数。</p><p class="ql-block"> 照这样分析，解决问题的关键是什么？你来说！</p><p class="ql-block"> 对！解决问题的关键是要弄清楚前齿轮与后齿轮的转动关系。 </p><p class="ql-block"> 怎样才能知道前齿轮转一圈时，后齿轮转的圈数呢？</p> <p class="ql-block"> 同学们，我们亲自动手，仔细观察一下藏在自行车里的秘密。 </p><p class="ql-block"> 用磁力扣和红笔做标记，并且准备好记录本，准备记录数据。</p><p class="ql-block"> 踏板蹬一圈，是不是自行车的车轮转一圈？仔细看！你来说！</p><p class="ql-block"> 我发现踏板蹬一圈，前齿轮转一圈，车轮转了大概两圈半左右。</p><p class="ql-block"> 对！踏板蹬一圈，车轮转的可不是一圈，而是两圈还多。也就是说后齿轮也转动两圈还多。</p><p class="ql-block"> 前、后两个齿轮通过链条连接在一起，前齿轮转动一个齿，链条怎么动？后齿轮怎么动？</p><p class="ql-block"> （教师慢慢转动自行车踏板。）</p><p class="ql-block"> 同学们观察的很仔细。前齿轮转过一个齿，后齿轮也随着转过一个齿。如果前齿轮转动两个齿，后齿轮怎么动？</p><p class="ql-block"> 对！前齿轮转过两个齿，后齿轮也转过两个齿。</p><p class="ql-block"> 如果前齿轮转动5个齿呢？10个齿呢？同学们有没有发现什么规律？你来说！</p><p class="ql-block"> 我发现前齿轮和后齿轮由链条连起来。前齿轮转过一个齿，后齿轮也转过一个齿；前齿轮转过两个齿，后齿轮也转过两个齿；前齿轮<span style="font-size:18px;">转过五个齿，后齿轮也转过五个齿。前齿轮和后齿轮转过的齿数始终是同样多的。</span></p><p class="ql-block"> 那么，同学们思考一下：前齿轮转一圈时，后齿轮转的圈数怎样表示？</p><p class="ql-block"> 好！你来说！</p><p class="ql-block"> </p><p class="ql-block"> </p> <p class="ql-block"> 既然前齿轮与后齿轮转过的齿数是相同的。那么前齿轮齿数x1就应该等于后齿轮齿数x后齿轮转动的圈数。</p><p class="ql-block"><b> 前齿轮齿数x1是什么意思呢？你来说！</b></p><p class="ql-block"> 前齿轮齿数x1是前齿轮转动一圈转过的齿数。例如前齿轮36齿，转1圈就是36x1=36齿。</p><p class="ql-block"><b> 齿数x圈数是什么意思呢？你来说！</b></p><p class="ql-block"> 齿数x圈数，就是齿轮转过的齿数。例如后齿轮一共16齿，转一圈就是16x1=16齿，转两圈就是16x2=32齿，转半圈就是16x0.5=8齿。齿数x圈数=转过的齿数。</p><p class="ql-block"> 由于前齿轮与后齿轮转过的齿数相同，我们可以得出：前齿轮齿数x1=后齿轮齿数x后齿轮转动圈数。</p><p class="ql-block"> 如果求后齿轮转动的圈数，它就等于（前齿轮齿数x1）/后齿轮齿数。</p><p class="ql-block"> 后齿轮转动的圈数就是车轮转动的圈数。</p><p class="ql-block"> 车轮转动的圈数x车轮的周长，就可以求出蹬一圈的路程了。</p><p class="ql-block"><b> 同学们我们来小结一下：</b></p><p class="ql-block">前齿轮转过的齿数=后齿轮转过的齿数</p><p class="ql-block">前齿轮齿数x1圈=后齿轮齿数x后齿轮转的圈数</p><p class="ql-block">后齿轮转的圈数=（前齿轮齿数x1）/后齿轮齿数</p><p class="ql-block">车轮转动的圈数=后齿轮转的圈数</p><p class="ql-block">车轮转动的圈数x车轮周长=蹬一圈的路程了。</p><p class="ql-block"> （3）收集整理数据，代入模型求解。</p><p class="ql-block"> 同学们，我们这辆自行车的前齿轮36齿，后齿轮16齿，车轮半径30㎝，我们把65页的表格填好，并且算一算蹬一圈的路程吧！开始！</p> <p class="ql-block"> 后齿轮转动圈数=（前齿轮齿数x1）/后齿轮齿数=（36x1）/16=2.25（圈）。</p><p class="ql-block"> 车轮转动圈数=后齿轮转动圈数=2.25圈。</p><p class="ql-block"> 蹬一圈的路程=车轮转动圈数x周长</p><p class="ql-block"> =2.25x2x3.14x30</p><p class="ql-block"> =423.9（cm）</p><p class="ql-block"> 前面研究了蹬一圈的情况，接下来我们研究蹬两圈及以上的情况。</p><p class="ql-block"> 同学们想一想，如果前齿轮转2圈、3圈、4圈…… 你能发现后齿轮的齿数、转动圈数，与前齿轮的齿数、转动圈数有什么关系吗？你来说！</p><p class="ql-block"> 对！前齿轮齿数x前齿轮转动圈数=后齿轮齿数x后齿轮转动圈数。</p><p class="ql-block"> 这个关系式中，等号左边是前齿轮转过的齿数；等号右边是后齿轮转过的齿数。由于链条的连接，前、后齿轮转过的齿数是相等的。</p> <p class="ql-block"> （二）研究变速自行车能变化出多少种速度</p><p class="ql-block"> 1、出示变速自行车实物。</p><p class="ql-block"> 仔细观察，这辆自行车分别有几个前齿轮和几个后齿轮？请分别数一数，填在书上的表格里。</p><p class="ql-block"> 思考：可以组合出多少种不同的速度？</p><p class="ql-block"> 前齿轮2种，后齿轮6种，2x6=12。一共有12种组合。</p><p class="ql-block"> 2、蹬同样的圈数，哪种组合使自行车走的最远？</p><p class="ql-block"> 前齿轮最大，后齿轮最小时，自行车走的最远。前齿轮选40齿，后齿轮选14齿。</p><p class="ql-block"> 蹬同样的圈数，自行车走的距离和哪些数据有关？</p><p class="ql-block"> 由公式可知：</p><p class="ql-block"> 后齿轮转动圈数=（前齿轮齿数/后齿轮齿数）x前齿轮转动圈数</p><p class="ql-block"> 蹬同样的圈数，也就是前齿轮转动圈数一定。这时自行车行走的距离和前后齿轮齿数的比有关。</p> <p class="ql-block"><b>三、巩固练习，拓展思维</b></p><p class="ql-block"> 1、前齿轮齿数为48，后齿轮齿数为20，车轮直径为71cm。</p><p class="ql-block"> （1）你能算出蹬一圈他能走多远吗？</p><p class="ql-block"> 后齿轮转动圈数=（前齿轮齿数x1）/后齿轮齿数=（48x1）/20=2.4（圈）</p><p class="ql-block"> 2.4x3.14x71≈535（㎝）</p><p class="ql-block"> （2）小刚家距离学校大约1000米，他从家到学校至少要蹬多少圈？</p><p class="ql-block"> 1000米=100000厘米</p><p class="ql-block"> 100000÷535≈187（圈）</p><p class="ql-block"> 答：小刚从家到学校至少要蹬187圈。</p><p class="ql-block"> （学生自主解答，指名汇报交流。）</p><p class="ql-block"> 2、自行车里蕴含着丰富的数学问题，变速自行车的发明大大解决了我们面对不同路况时的需要。</p><p class="ql-block"> 自行车运动员们在比赛时。要经过各种不同的路段，你觉得在上坡时应该怎样搭配前后齿轮才省力？下坡时应该怎样搭配更合理？</p><p class="ql-block"> 上坡时，前齿轮齿数与后齿轮齿数的比值越小，上坡时越省力；下坡时正好相反，前齿轮齿数与后齿轮齿数的比值越大，下坡时速度越快。</p> <p class="ql-block"><b>四、课堂收获，总结提高</b></p><p class="ql-block"> 同学们，通过今天的实践活动，你又有哪些新的收获呢？</p><p class="ql-block"> 这节课，我们一起研究了自行车里蕴含的数学问题。自行车里的学问还真大！数学与我们的生活紧密联系，我们要学会用数学的眼光发现问题，积极探寻解决生活中数学问题的好方法。</p><p class="ql-block"> 好，同学们，这节课我们就上到这里。下课，同学们再见。</p><p class="ql-block"><b>板书设计：</b></p><p class="ql-block"><b> 自行车里的数学</b></p><p class="ql-block"><b>推导过程：</b></p><p class="ql-block">前齿轮转过的齿数=后齿轮转过的齿数</p><p class="ql-block">前齿轮齿数x1=后齿轮齿数x后齿轮转的圈数</p><p class="ql-block">后齿轮转的圈数=（前齿轮齿数x1<span style="font-size:18px;">）</span>/后齿轮齿数</p><p class="ql-block">车轮转动的圈数=后齿轮转的圈数</p><p class="ql-block">车轮转动的圈数x车轮周长=蹬一圈的路程</p><p class="ql-block"><b>前齿轮与后齿轮的关系模型：</b></p><p class="ql-block">前齿轮齿数x<span style="font-size:18px;">前齿轮转动圈数=后齿轮齿数x后齿轮转动圈数</span></p><p class="ql-block">前齿轮齿数/后齿轮齿数=后齿轮转动圈数/前齿轮转动圈数</p><p class="ql-block"><br></p> <p class="ql-block"><b>（图片来自网络，感谢摄影作者）</b></p>