<p class="ql-block">小层是让学生概括第一个层次中加法算式的特点。突出乘法意义的一个方面，求几个几相加的和，之后再根据加法算式的共性写出几个具有相同特点的加法算式，让学生体会当相同加数的个数增多时，写连加算式会比较麻烦，从而产生进行简写的需求。突出乘法意义的另一个方面，为乘法意义的理解做好了准备，第三个层次直接揭示了乘法的意义。求几个相同加数和的加法算式可以用乘法算式表示，并以其中一个加法算式为例，给出了乘法算式的写法以及乘法算式中各部分的名称。这里需要特别注意的是，教材在这里只给出了乘法算式的一种写法，即相同加数在前，相同加数的个数在后的乘法算式怎样写，其实是一种人为的规定，既可以写成3×5=15，也可以写成5×3=15。但只能选择一种，具体选择哪种，在不同的文化里有不同的约定或者定义。对于这一点，不同的著作里都有相应的说明。例如译自美国作者武红希的数学家讲小学数学一书中，就说明了3×5定义为3个五相加，或者定义为5个三相加都是可以的，但只要默认了一个对于乘法意义的约定，那么全书就应该使用这个约定。译自英国作者帕梅拉利贝克的儿童怎样学习数学一书中也明确说明，例如3组，每组4个物体，就是12个物体的符号记录。有图中的这两种表达方式。但开始只能挑一种。通过以上著作的论述可以看出乘法算式的写法或者是符号表达本身其实就是对乘法定义的一种约定。因此这种符号表达的意义应该是唯一的，所以教材在学生一开始接触乘法的意义的时候，就只给出了这样的一种符号表达方式。</p><p class="ql-block">接下来的例2。可以看作是在与前面不同的现实情境模型中对于乘法意义的应用，一方面让学生进一步加深对乘法意义的理解，另一方面通过数圆片的总数并进行不同形式的符号表达。基于学生的直觉基础，发现并初步感受乘法的交换率，为后面用一句乘法口诀可以计算两个乘法算式的积进行铺垫。这里由于教材编写的变化，对于实际教学需要提示一下，在教学完例2之后，要求学生列出乘法算式的题目，虽然按照约定应该将相同加数写在前面，但如果学生将相同加数及其个数的位置写颠倒了。教师评价时也应该尽量宽松一些，特别是像例2这样的直观图。如果只让学生写出一个乘法算式，那么他写哪一种其实都是可以的，因为在这种面积模型或者矩阵模型的情境下，两个乘数的作用和地位是对等的。在课程标准附录的例3里边，大家也可以看到，课标的标准也是宽松的，学生写哪一个乘法算式都可以。那么这里还可以有另外一种理解，就是在学生理解了乘法的意义之后，我们更为关注的就是怎样获得乘法计算的结果了。由于乘法具有可交换的性质，写哪一个的乘法算式其实没有必要那么纠结。我这里给大家截取了一些其他国家的教材，比如俄罗斯的教材，大家也可以看出来，他们在写乘法算式的时候也是将相同加数写在前面，相同加数的个数写在后面的，也是只给了这样的一种符号表达方法，包括日本的教材也是如此。德国教材也是同样，只不过在后面讲类似于乘法口诀的积的时候，那么它也出现了一个5，用1×5的方式来表达的这样的方式，因为我们没有看到全部的教材，所以这块不太清楚他们具体的编排结构是什么样子的。为加深学生对乘法含义的理解，教材特别注重对于乘法的不同表征方式之间的转化。那么通过做一做和练习，大家可以看到我们教材抓住了乘法是相同加数连加的简便表达的这样的一个本质，那么我们突出了几个几相加，让学生通过不同表征方式之间的转化，加深对于乘法含义的理解。比如例一后的做一做第一题，通过将几个几的文字表达转化为小棒的操作，再到加法算式，最后写出乘法算式，体现了几种表征方式之间的转化。第二题则需要根据图示概括出是几个几相加，最后写出乘法算式，中间缺少了加法算式的桥梁，抽象程度更高一些。例2后面的做一做第一题与刚才做一做的第二题类似，只是中间增加了加法算式的表示。第二，后面做一做的第二题则是根据文字表达画图列出加法算式和乘法算式。由此可以看出，教材注意通过各种表征方式之间的转化，借助不同的现实情境模型，促进学生对乘法意义的理解，以上是乘法的初步认识的编排。</p><p class="ql-block">下面我们来看看2~6的乘法口诀的编排。由于乘法口诀部分的编排在结构上有着相似性，我们主要以5的乘法口诀为例进行教材分析。5的乘法口诀编排上的逻辑顺序是先解决连加求和的问题，再引出点子图和乘法算式，最后根据乘法算式及其结果编制乘法口诀。从求一共有多少个小熊玩偶的问题引入，既可以使学生认识到相同数连加这类问题在生活中广泛存在。又为编制和理解乘法口诀提供了现实情境模型。在解决问题的过程中，教材将五个五累加的计算过程依次呈现出来，目的是突出两个5、三个5直到5个5相加的和，使学生直观看到乘法算式中积的由来，为5的乘法口诀做了铺垫。这里的点子图是连接加法和乘法的桥梁。教学时可以结合用乘法算式表示连加的每一步加以呈现，加深学生对乘法意义的理解，并将乘法口诀直观化。例如。通过两个5的点子图，我们可以很容易地理解。这里的5×2表示两个5相加的和，通过前面的学习也知道了2×5和5×2的积是相等的，所以也有2×5=10，也就是横着看点子图，每行有两个点子共有这样的五行。在通过连加找到乘法算式的积后，为了以后更快地找到和并记住乘法算式的积。乘法教材呈现了乘法口诀，并且口诀的呈现体现了由教师引导学生编制到学生自主尝试编制的过程。引导学生编制时，教师要重在让学生理解乘法口诀的含义。例如这里可以通过点子图让学生直观看到乘法口诀中的2和5分别表示点子图中点子的组数和每组的点子数，也就是乘法算式中的乘数。10表示点子的总数，也就是乘法算式中的积。在此基础上，放手让学生模仿编制其他几句乘法口诀。在经历了编制5的乘法口诀的过程之后，学生弄清了乘法算式中积的由来，也在头脑中形成了点子图与乘法口诀之间的链接，就为后面记忆5的乘法口诀做好了方法上的准备。比如学生忘记某记乘法口诀的积之后，可以想象连加的结果，或者是通过点子图想到结果。教材也设计了诸如对口令的游戏等，促进学生对于乘法口诀的记忆，目的在于提醒老师们要注意让学生在理解的基础上进行乘法口诀的背诵，编制、理解、记忆5的乘法口诀的目的最终是要在计算乘法时熟练地加以运用，在教材中运用乘法口诀求积，没有安排专门的例题，主要编排在做一做和练习中。尽管如此，运用口诀的编排仍然体现了运用要求上的逐步提升。从有直观支撑到没有直观支撑，比如做一做的第二题。没有直观支撑的，比如练一练的第三题。教师也要在实际教学中逐步提高对于学生的计算要求。</p><p class="ql-block">接下来二、三、四、六的乘法口诀编排的结构基本上与5的乘法口诀相似，只是321的乘法口诀句数较少，积也容易通过加法找到，学生比较熟悉。编排时就不再由现实情境引入，而是与4的乘法口诀整合在一起进行教学。这里需要提出的是一的乘法口诀和6的乘法口诀的编排。由于一的乘法口诀比较简单，学生又经历了5432的乘法口诀的编制过程，已经有了较为充分的编制乘法口诀的经验。因此只让学生推理出一的乘法口诀。到6的乘法口诀时，学生理解和编制乘法口诀都不成问题了，教学的重点转为记忆乘法口诀，因此教材不再呈现点子图，而是注重通过表格的形式突出相同加数的个数以及连加的和或者是乘积，以加深学生对乘法口诀中积的印象，便于记忆乘法口诀。再之后第五单元7~9的表内乘除法中7~9的乘法口诀基本上和6的乘法口诀的编排思路一致，重点也是在于找到积和记忆相应的乘法口诀。后面我们就不再专门加以介绍了。这里需要说明的是，在9的乘法口诀中，教材突出了借助9的相邻的乘法口诀中各积之间的变化的特点，帮助学生记忆机，提示各位老师在教学中要注意让学生寻找便于记忆乘法口诀的方法。同时为了便于学生借助相邻乘法口诀中各积之间的关系，帮助学生记忆积，教材在4的乘法口诀之后和6的乘法口诀之前编排了乘加乘减的例题。除了了解乘加乘减算式的运算顺序之外，主要目的有两个方面，一是使学生有充分的进行练习的时间，在计算乘加乘减试题的过程中，提高学生运用乘法口诀计算熟练程度，同时丰富练习的形式。二是在掌握乘加乘减试题计算方法的基础上，为今后根据乘法口诀间的关系，记忆乘法口诀，做好方法上的准备。在具体编排上，教材从主题图中抽取了乘坐旋转木马的情境，既引出问题，又为理解运算顺序提供了直观的支撑乘加乘减算式则基于解决问题的两种不同计算方法引出。因此列式理解算式并不困难，需要的是在原有的基础上让学生进一步明确乘加、乘减算式的运算顺序。要先算乘法，这里可以视为本套教材中第二次教学运算顺序。第一次是在6~10的认识和加减法中，主要是教学连加、连减、加减混合的运算顺序。第二次就是在这里，在教学时，老师们可以结合情境，通过引导学生对比乘加和乘减两个算式在计算时的共同点。明确先算乘法，再算加法或减法的运算顺序。在实际教学中，学生在学习乘法口诀这部分内容时，常常会出现将中文数字写成阿拉伯数字的情况。针对这种现象，教材在教学完全部乘法口诀之后，通过你知道吗？的形式呈现了我国出土年代最早的乘法口诀文物。现藏于湖南里耶秦简博物馆里的秦简图片，让学生了解一些乘法口诀的历史，由此感受乘法口诀中用中文数字书写是有文化和历史背景的。当然，实际教学时，老师们也可以补充我国出土的各种乘法表、文物等，让学生感受乘法表在我国数学史上的重要地位。</p><p class="ql-block">以上是1~6的表内乘法，7~9的表内乘除法单元中乘法口诀部分的编排，由于三个表内乘除法单元的解决问题有着一定的内在联系本单元，剩下的解决问题留在后面进行整体介绍，这里暂时先不介绍，接下来我们来分析第三单元1~6的表内除法。</p><p class="ql-block">本单元具体的编排如下，大家可以看到两个小节的教学重点分别是理解除法运算的意义以及学会用乘法口诀求商的方法。同样，教材主题图呈现了学生熟悉的分物情境，其中既有平均分完的小情境，例如分饼干的情境。也有还没有平均分完的小情境，例如分橘子的情境。更有还没有进行平均分的情境，例如糖果的情境。一方面使学生看到平均分的情况在生活中是确实存在的，为后面理解平均分提供了丰富的现实情境。另一方面培养学生用数学的眼光观察生活，发现并提出数学问题的能力。接下来，教材以正文的形式，利用主题图中分糖果的素材，通过将6块糖果分成3份的操作，对比不同的分法，认识平均分是分物体时的一种特殊情况，突出平均分的含义，也就是每份分得同样多。这里所分的糖果数量比较少，这样既便于学生分物，又利于学生将关注点放在分的结果上，从而自然地引出对不同方法的比较。在学生理解会辨认平均分之后，做一做的第二题，以图文配合的方式引导学生对平均分的结果进行表达，为后面除法含义的认识做好准备，同时也通过这一直观图渗透了乘除法之间的关系。在理解平均分后，教材通过两个例题教学平均分的两种现实情境。一是包含，一是等分。如果说理解平均分的含义时更关注分物的结果，那么接下来例一例2相对来说则更关注分的过程或者方法。首先我们来看看包含的情况，包含是已知总数和每份有多少个而进行的平均分。教材借助主题图中分饼干的情境，让学生将8袋饼干每两袋分成一份，以圈圈的形式进行平均分，从而体验这种平均分的过程感受。从总数中不断减去每份的个数的过程，同时又注重平均分的结果的呈现。教材让学生通过继续圈一圈的方式巩固对这种平均分方法的特点的感受。后面做一做的第三题更是通过改变平均分时每份的个数，让学生在圈一圈中直观看到这种平均分的特点，直观感受到10中有5个2，有两个5等。进一步体会平均分的本质。以上是平均分的第一种情况包含的编排。</p><p class="ql-block">下面我们来看看平均分的另一种情况，等分的编排。等分是已知总数和要分的份数而进行的平均分，具体的编排思路和包含的思路是一致的。同样以图文结合的方式进行，既注重让学生通过操作体验这种平均分的过程和方法，又注重平均分结果的呈现。将18个橘子平均分成6份的方法，其实可以有不同的方法。其中最基本的方法就是教材图中呈现的一个一个的分的方法。教材用连续的直观图进行了呈现，先每个盘里放一个，6个盘子，共分去6个橘子，再重复前面分的过程。第二次用同样的方法分完后，6个盘子又一共分去了6个橘子，如此直到18个橘子全部分完，这样共分了三次，连续分掉了3个6，每盘分到3个橘子。由此使学生直观地体验这种平均分的过程。不断地从总数中减去分掉的橘子，一个一个地分，每次减掉的橘子的个数和要分的份数是一样的，</p>