初中数学五日一题(6)(51--60)解法与解析集锦

海阔天空

文字:海阔天空

题目:源于绩优学案练习册

我的两个初衷

自从2024年9月1日开学起，九年制义务教育阶段的一、七年级同时开始使用新教材。我的大孙女也正好进入七年级，这让我毫无疑问的在关注着她的学习动向，特别是数学这一学科。

本级学生数学科统一使用的是名为绩优学案的同步练习册，这应该是小学阶段的学习与评价改了个名称。虽然我没有也没必要给她经常性的辅导，但我始终会一如既往的坚持一个做法，就是我手头同时具有跟她同步的教材和同步练习册，而且在一题不漏和不厌其烦的过目、钻研、理解。如果她随时需要，我一定会让她满意，这就是我的第一初衷。

我有一个深刻的感觉，现在七年级的同步练习册上有相当数量的题目从难度和跨度上都不亚于十年前八、九年级的题目。我虽为一名退休数学教师，但这好多题目都让我完全是一种新的感觉，更需有新的认知。幸亏本人酷爱数学，否则这个做法难以坚持下去。

数学同步练习册上有一些题目很有趣味性和代表性，但资料上提供的答案往往是避重就轻，只有结果而没有过程或是解析过程过于简略。有些题目很有必要深钻细研、深刻挖掘，但有时通过网上查询总难让人感到满意，所以有的题目会让我通过多时甚至数日才能琢磨到毫不含糊的程度。这正是我分享“五日一题解法与解析集锦”的主要原由。

借用网络与人为善，为本级优秀学子们突破高难度题目寻求正确解题思路提供参考和借鉴，这是我的第二初衷。如果不出意外，我的这个做法会一直坚持到本级学生初中毕业。本人做为一名退休教师，若能对任何学子有一丝帮助，那将是我晚年生活的最大欣慰。

两点说明

1.本五日一题集锦题目主要来源于❶绩优学案中能力提升题、素养拓展题栏目；❷教材中单元习题和复习题中问题解决、联系拓广等栏目；❸各单元测评卷中个别精选题目；❹寒暑假作业中让我留有标记的题目；❺我孙女测试卷上出现过被我看中的题目。

2.我对选入的题目原则上保证题意分析、详解过程、解后反思这三步走，但个别题目例外，要么只有题意分析，要么只有解答过程，要么答案就在题意分析中，题意分析中重在谈讨问题的转化方法和途径，探究难点突破的巧思妙想。解后反思既是对题意分析的补充，又是自我感悟的分享。

2025年5月25日题

51.利用两块完全相同的直角三角尺测量升旗台的高度。先将两块三角尺按图4-4-9-①放置，然后交换两块三角尺的位置，按图4-4-9②放置，则升旗台的高度是多少？(七年级下学期“绩优学案第四章三角形.4.利用三角形全等测距离p102页课后巩固能力提升7题)

题意分析:

1.本题属于用两块完全相同的直角三角尺测量物体高度，属于测量中一种独特的方法。

2.本题对图形观察能力有较高要求，主要体现在线段之间的和差关系上，并且要能把两个已知数涉及在内。

3.旗台的高是固定不变的，可设为X，直角三角尺的长直角边为a，短直角边为b，再由图形中线段和差关系列出方程求解X。

详解过程:

解:设升旗台高为X㎝,长直角边为a，短直角边为b,由题意得

①X+a-b=98

②X+b-a=40

①+②,得2X=138, X=69

答:升旗台的高度为69厘米。

解后反思:

1.本题的基本功是观察图形。

2.直角三角尺的两条直角边a和b实际上是充当了已知数。

2025年5月30日题

52.当n为正整数时，n²+3n+1的值一定是质数吗？(七年级下学期“绩优学案第四章三角形.4利用三角形全等测距离.问题解决策略:特殊化核心解读中p104页例2)

题意分析:

1.本题正是问题解决策略中，利用特殊化解决问题的一个实例。

2.在数学题目中，往往要论证一个结论一定成立的时候，必须从一般性和普遍性的角度去全面论证。而要论证某个结论不一定成立时只需举出一个例子，即利用特殊化就可以。

解答过程:

解:当n为正整数时，n²+3n+1的值不一定是质数，理由如下:

设n=6时，n²+3n+1=6²+3×6+1=36+18+1=55=11×5，这说明n²+3n+1就是一个合数。

解后反思:

利用特殊化论证一个结论不一定成立很方便，即只要有一个特例就够了。

2025年6月5日题

53.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50º，则底角的度数为 ( D )

A.40º B.70º

C.40º或140º D.70º或20º

(七年级下学期“绩优学案第五章.图形的轴对称.2.简单的轴对称图形.p114页能力提升7题)

题意分析:

1.本题是关于等腰三角形中由已知条件求底角的度数。

2.在等腰三角形ABC中，如果有AB=AC，那么∠A=180-2∠B或2∠C，∠B=∠C=90º-½∠A。上面这样的关系应烂熟于心。

3.凡等腰三角形中的问题，一般都要考虑顶角特大或顶角特小的两种可能。即凡等腰三角形中的问题一般都是两解。

3.本题也绝不例外，应在两个图形中考虑问题，这应该是常识。

解答过程:

由上面图①、图②可知，在△ABC中，AD是腰AC上的高，可由直角三角形两锐角互余先求出顶角或顶角的临补角最终求出顶角∠BAC，再由∠B=∠C=180º-2∠A=两底角70º或20º，故本题应选D。

解后反思:

凡等腰三角形中，无论由已知角求未知角，还是由已知边求未知边，或周长或面积一般都要考虑两解。

2025年6月10日题

54.在等腰三角形ABC中，AB=AC，一条腰上的中线将等腰三角形ABC的周长分成12和15两部分，求等腰三角形ABC的腰长及底边长。(七年级下学期“绩优学案第五章.图形的轴对称.2.简单的轴对称图形.p114页素养拓展11题)

题意分析:

1.等腰三角形的周长被一条中线分成两部分，可简单理解为上半部分和下半部分。

2.分成的12和15两部分，每个数据都既可做为上半部分也可做为下半部分，这自然也就是两种情况了。

解答过程:

已知:△ABC中，AB=AC，中线BD把周长分成了12和15。

求:腰长和底边长。

解:设腰长为X,底边长为y，由题意得

①X+½X=12

②½X+Y=15

由①、②解之得X=8，Y=11

或①X+½ X=15

②½X+Y=12

再由①、②解之得X=10. Y=7

答:等腰三角形的腰为8或10，底边长为11或7。

解后返思:

1.这又是一个两解问题的实例。

2.两解问题就要列出两个方程或方程组求解。

2025年6月15日题

55.如下图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC交AB于点E。当AB=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由。(七年级下学期“绩优学案第五章.图形的轴对称.2.简单的轴对称图形.第3课时角平分线后“问题解决策略:转化”p123页能力提升5题)

题意分析:

1.本题属于论证“两线相等”的基本问题。

2.要证两线相等，首先考虑能否在一对全等三角形中，其次再看能否在一个等腰三角形中，再继续推理思考。

3.观察题图只能用等量代换，即找到第三线BE，再继续推证。

详解过程:

逆推过程:

由题目的结论出发，用逆推的思路寻求正确结论成立的条件，一直把要论证的结论逆推到能用原题中所给已知条件推出为止。

顺推过程:

把稿纸上寻求证题思路的逆推过程改写为顺推过程即可，但必要时要对并列或从属关系做出变通。

解后反思:

1.本题从类型上看是要证两线相等。从主要方法上看是用“等量代换”转化问题的。

2.本题主要条件有3个:①有一条角平分线，②有两线平行，③有两线相等。

2025年6月20日题

56.桌子上有一堆火柴棒，共计2025 根，甲、乙两人轮流取走火柴棒，并规定:每人每次取1至5根，谁最后取完桌上的火柴棒，谁就获胜。若甲先取火柴棒，怎样取才能保证自己必胜？请给出一个方案。(七年级下学期“绩优学案第五章.图形的轴对称.2.简单的轴对称图形.第3课时角平分线后“问题解决策略:转化”p123页素养拓展8题)

题意分析与解答:

1.本题属于一个有趣味性的游戏题，细观题目有三个规则:①甲、乙轮流，②每人每次取1至5根，③取的总次数应是一奇数。

2.按规则取第一次和最后一次都是甲，除了第一次由甲先取外，后面都是乙取后甲再取，而且甲、乙都必须遵守游戏规则。

3.为了获胜甲必须按照乙每次取的数量确定自己取的数量，以保证最后一次自己能刚好取完。

4.若把每人一次算作一轮的话，那么两人在一轮中所取总数为1+5=6。总共要取2025÷6=337……3，即一人一次取够337轮还剩3根。

5.甲必胜的方案是第一次先取走3根，然后让乙取，假设乙每次取n根(1≤n≤5),那么甲就取6-n根，这样取够337轮刚好取完，就可以甲必胜。

解后反思:

1.为什么要每一轮取6根？因为只有这样甲才能控制住乙，即当乙取1根时甲可取5根；乙取5根时甲可取1根；乙取2根时甲取4根，总可应对。

2.若要定为一轮取7根，比如如果乙先取了1根，那么甲该取7-1=6根，但这与游戏规则不相符了。所以只能按每一轮取6个，确定第一次甲要最早取走3根。后面局面可完全由甲来控制了。

2025年6月25日题

57.如下图，在△ABC中，BC=AC，∠C=90º，BD是△ABC的角平分线，请说明AB=BC+CD。(七年级下学期“绩优学案第五章.图形的轴对称.“专题五 特殊轴对称图形的应用”p124页类型2.角平分线性质定理的应用4题)

题意分析:

1.本题从论证类型上看，是要证一条线段等于其它两条线段的和，即三线和差关系。最重要的是能抓住图形特点，通过一条辅助线把问题进行转化。

2.这样的问题一般是把表示和的这条线段分成两段，先在表示和的线段上截取一段等于其中的某一段，再想办法论证所剩线段等于另一段。

3.本题中做辅助线的方法简称为“截长”，也可采用“补短”来设计辅助线。

详解过程:

解后反思:

1.无论是哪类需论证的题目，用等量代换始终是问题转化的主要途径。

2.从逆推改写为顺推，在顺序和从属关系上都会有一些必要的变通，需认真体会和把握。

3.本题中的辅助线也可以做成DE⊥AB，那需要的AC=AE,就要推证出来而不能直接由作图而得，但这时需要利用∠4=90º就方便多了。

2025年6月30日题

58.用若干张长6㎝的纸片重叠1㎝粘贴成一条纸带，如图6-3-2所示，纸带的总长度y(㎝)与纸片张数X之间的关系式是( D )

(七年级下学期绩优学案第六章“变量之间的关系”3.用关系式表示变量之间的关系。p133页基础过关4题)

题意分析及解答:

1.本题中包含着两个变量，纸带的张数和长度分别为自变量和因变量。

2.用关系式表示两个变量之间的关系是本章的重点。

3.从图形上看，纸带的长度应等于纸的张数×6，但要减去粘贴的部分，可以看出粘贴1㎝的宽度个数比纸的张数少1。

4.故y=6×X-1×(X-1)=6X- X+1

=5X+1，故应选选项D

2025年7月5日题

59.(七年级下学期绩优学案第六章“变量之间的关系”4.用图像表示变量之间的关系.第1课时.用图像表示变量之间关系⑴.p136页基础过关3题)

题意分析及解答:

1.本题是用图像表示两个变量之间的关系，容易想象，升国旗这一过程中，国旗的高度随时间的增长而增高。

2.四幅图都有实际意义，第1图表示时间增到一定时又下降；第2图表示高度不因时间增长而增高；第3图表示随时间的增长而降低，到好像是要降旗的图像；第4图才表达了旗的高度随时间增长而增高。故选D

2025年7月10日题

60.(七年级下学期绩优学案第六章“变量之间的关系”4.用图像表示变量之间的关系.第2课时.用图像表示变量之间关系⑵.p141页素养拓展9题)

题意分析:

1.本题是用图像表示变量之间关系⑵中素养拓展题，对看图和理解都有较高的要求。

2.本题共有三个问题，其中第⑴、⑵都简单明了，从图像可以直接看出后填空。

3.第⑶要求对题意有深刻的理解才能找到解决问题的途径。原路返回和上下坡速度保持不变。意即去时上坡路程正是返回时下坡路程，反之亦然。去时上坡速度正是返回时上坡的速度，反之亦然。

4.计算时必须结合图像仔细列式，否则容易出错。

详解过程:

解:上坡速度为:

4÷50=0.08㎞/min。

下坡速度为:

(7-4)÷(80-60)=0.15㎞/min。

返回所用时间为:

(7-4)÷0.08+4÷0.15

=37.5+26.67

=64.17(min)

答: 小朋从景区到家所用时间为64.17分钟。

解后反思:

本题中小明从景区返回家时所走山上坡、下坡路程并未改变，只是他返回时上坡速度是他去时上另一坡的速度，返回时下坡速度是他去时下另一坡的速度。

初中数学五日一题⑹(51--60)解法与解析集锦到此结束，后续初中数学五日一题⑺(61--70)将另文发表，欢迎光临和关注！

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