七类递归方程的解法

LYX

　　掌握解递归方程的方法，是为了求递归数列（也称递推数列）的通项公式。递归方程的通解就是其对应的递归数列的通项公式。

﹙1﹚aₙ₊₁+paₙ=k，﹙常数p,k≠0,n∈N*﹚

假设方程可转化为：

aₙ₊₁+α=﹙-p﹚·﹙aₙ+α﹚，其中α为待定常数，还原为：aₙ₊₁+paₙ=-﹙p+1﹚α

与aₙ₊₁+paₙ=k比较系数得，-﹙p+1﹚α=k

i﹚当p≠-1时，α=-k/﹙p+1﹚，于是有,

aₙ₊₁-k/﹙p+1﹚=﹙-p﹚·﹙aₙ-k/﹙p+1﹚﹚

易知，数列﹛aₙ-k/﹙p+1﹚﹜是以

a₁-k/﹙p+1﹚为首项，-p为公比的等比数列.

∴aₙ=﹙a₁-k/﹙p+1﹚﹚·﹙-p﹚ⁿ⁻¹+k/﹙p+1﹚

ii﹚当p=-1时，递归方程为aₙ₊₁-aₙ=k，数列{aₙ}是以k为公比的等比数列，

∴aₙ=a₁+﹙n-1﹚k

综合i﹚ii﹚得，

方程aₙ₊₁+paₙ=k﹙常数p,k≠0，n∈N*﹚的通解为：aₙ=

┌﹙a₁-k/﹙p+1﹚﹚·﹙-p﹚ⁿ⁻¹+k/﹙p+1﹚，﹙p≠-1﹚

└a₁+﹙n-1﹚k，﹙p=-1﹚

﹙2﹚aₙ₊₁+paₙ=kcⁿ，﹙常数p,c,k≠0,n∈N*﹚

假设方程可转化为，

aₙ₊₁+αcⁿ⁺¹=﹙-p﹚·﹙aⁿ+αcⁿ﹚，其中α为待定常数，还原为aₙ₊₁+paₙ=-﹙p+c﹚αcⁿ，与方程

aₙ₊₁+paₙ=kcⁿ 比较系数得，-﹙p+c﹚α=k

i﹚当p+c=0时，将p=-c代入方程得，

aₙ₊₁-caₙ=kcⁿ<=>aₙ₊₁/cⁿ⁺¹-aₙ/cⁿ=k/c .

显然，数列{aₙ/cⁿ}是以a₁/c为首项，k/c为公差的等差数列。易得 aₙ=﹙a₁-k+kn﹚cⁿ⁻¹

ii﹚当p+c≠0时，有α=-k/﹙p+c﹚

∴aₙ₊₁-kcⁿ⁺¹/﹙p+c﹚

=﹙-p﹚·﹙aₙ-kcⁿ/﹙p+c﹚﹚

于是，数列{aₙ-kcⁿ/﹙p+c﹚}是以a₁-kc/﹙p+c﹚为首项，-p为公比的等比数列。所以，

aₙ=﹙a₁-kc/﹙p+c﹚﹚﹙-p﹚ⁿ⁻¹+kcⁿ/﹙p+c﹚

综合i﹚ii﹚得，

方程aₙ₊₁+paₙ=kcⁿ，常数p,c,k≠0，n∈N*，的通解为 aₙ=

┌﹙a₁-k+kn﹚cⁿ⁻¹（c+p=0）

└﹙a₁-kc/﹙c+p﹚﹚﹙-p﹚ⁿ⁻¹+kcⁿ/﹙c+p﹚（c+p≠0）

﹙3﹚aₙ₊₁+paₙ=An+B

（p,A,B是常数且p,A≠0,n∈N*）

假设方程可转化为，

aₙ₊₁+α﹙n+1﹚+β=﹙-p﹚﹙aₙ+αn+β﹚，α,β为待定常数。整理得：

aₙ₊₁+paₙ=-﹙α+pα﹚n-﹙α+β+pβ﹚

与方程aₙ₊₁+paₙ=An+B比较系数得，

α+pα=-A且α+β+pβ=-B

i﹚当p=-1时，原方程为：aₙ₊₁-aₙ=An+B，由aₙ=﹙aₙ-aₙ₋₁﹚+﹙aₙ₋₁-aₙ₋₂﹚+···+﹙a₂-a₁﹚+a₁

可得通解为：aₙ=﹙A/2﹚n﹙n-1﹚+B﹙n-1﹚+a₁

ii﹚当p≠-1时，α=-A/﹙p+1﹚，

β=-B/﹙p+1﹚+A/﹙p+1﹚²，数列{aₙ+αn+β}是以

-p为公比的等比数列，易得，

aₙ=﹙a₁-﹙A+B﹚/﹙p+1﹚+A/﹙p+1﹚²﹚﹙-p﹚ⁿ⁻¹+

+﹙An+B﹚/﹙p+1﹚-A/﹙p+1﹚²

综合i﹚ii﹚得，方程aₙ₊₁+paₙ=An+B

﹙p,A,B是常数且p,A≠0,n∈N*）的通解为：

aₙ=

┌﹙A/2﹚·n﹙n-1﹚+B﹙h-1﹚+a₁ , ﹙p=-1﹚

└﹙a₁-﹙A+B﹚/﹙p+1﹚+A/﹙p+1﹚²﹚·﹙-p﹚ⁿ⁻¹+

+﹙An+B﹚/﹙p+1﹚-A/﹙p+1﹚²，﹙p≠-1﹚

﹙4﹚aₙ₊₁+paₙ=An²+Bn+C

﹙p,A,B,C是常数，p,A≠0，n∈N*）

假设aₙ₊₁+α﹙n+1﹚²+β﹙n+1﹚+γ=

﹙-p﹚﹙aₙ+αn²+βn+γ﹚，整理后比较系数.得，

┌ -α-pα=A

│ -2α-β-pβ=B，

└ -α-β-γ-pγ=C

i﹚当p=-1时，递归方程变成

aₙ₊₁-aₙ=An²+Bn+C，参照类型﹙3﹚ i﹚可写出原方程的通解：aₙ=

n﹙n-1﹚﹙2n-3﹚A/6+n﹙n-1﹚B/2+C﹙n-1﹚+a₁

ii﹚当p≠-1时，有

┌α=-A/﹙p+1﹚·········· ①

│β=-B/﹙p+1﹚+2A/﹙p+1﹚² ·····②

└γ=-C/﹙p+1﹚+﹙A+B﹚/﹙p+1﹚² -2A﹙p+1﹚³

·····③

参照类型﹙3﹚可写出，

aₙ=﹙a₁+α+β+γ﹚﹙-p﹚ⁿ⁻¹-αn²-βn-γ

﹙α,β,γ由式子①②③确定）

综合i﹚ii﹚得，aₙ=

┌﹙a₁+α+β+γ﹚﹙-p﹚ⁿ⁻¹-αn²-βn-γ ﹙p≠-1﹚

└n﹙n-1﹚﹙2n-3﹚A/6+n﹙n-1﹚B/2+C﹙n-1﹚+a₁（p=-1）

﹙5﹚aₙ₊₁+paₙ=kcⁿ+t（常数p,k,t,c≠0，n∈N*﹚

假设原方程可转化为，

aₙ₊₁+αcⁿ⁺¹+β=﹙-p﹚﹙aₙ+αcⁿ+β﹚，还原后与原方程比较系数得，

┌α﹙c+p﹚=-k

└β﹙p+1﹚=-t

i﹚当p+c≠0且p+1≠0时，有

α=-k/﹙c+p﹚，β=-t/﹙p+1﹚

易得，aₙ=﹙a₁-kc/﹙c+p﹚-t/﹙p+1﹚﹚﹙-p﹚ⁿ⁻¹+

+kcⁿ/﹙c+p﹚+t/﹙p+1﹚

ii﹚当p+c=0且p≠-1时，即c≠1时，有

aₙ₊₁-caₙ=kcⁿ+t

<=>aₙ₊₁/cⁿ⁺¹-aₙ/cⁿ=k/c+t/cⁿ⁺¹，

假设﹙aₙ₊₁/cⁿ⁺¹-α/cⁿ⁺¹﹚-﹙aₙ/cⁿ-α/cⁿ﹚=k/c

还原后可求得，α=t/c-1 ，得到了一个公差为k/c的等差数列，易得，

aₙ=[a₁+t/﹙c-1﹚+﹙n-1﹚k]cⁿ⁻¹-t/﹙c-1﹚

iii﹚当p=-1且p+c≠0，即p=-1且c≠1时，

有aₙ₊₁-aₙ=kcⁿ+t ，参照类型﹙3﹚i﹚得，

aₙ=kc﹙1-cⁿ⁻¹﹚/﹙1-c﹚+﹙n-1﹚t+a₁

iv﹚当p=-1且c=1时，有aₙ₊₁-aₙ=k+t ，易得，aₙ=a₁+﹙n-1﹚﹙k+t﹚

综合i﹚ii﹚iii﹚iv﹚得：aₙ=

a₁+﹙n-1﹚﹙k+t﹚（p=-1,c=1）

kc﹙1-cⁿ⁻¹﹚/﹙1-c﹚+﹙n-1﹚t+a₁（p=-1,c≠1）

[a₁+t/﹙c-1﹚+﹙n-1﹚k]cⁿ⁻¹-t/﹙c-1﹚（p=-c，c≠1）

[a₁-kc/﹙p+c﹚-t/﹙p+1﹚]﹙-p﹚ⁿ⁻¹+

+kcⁿ/﹙p+c﹚+t/﹙p+1﹚（p+c≠0,p≠-1）

﹙6﹚aₙ₊₂+p₁aₙ₊₁+p₂aₙ=0

（常数p₁,p₂≠0，n∈N*）

假设aₙ₊₂+αaₙ₊₁=q﹙aₙ₊₁+αaₙ﹚

（α,q为待定常数），还原后比较系数有

┌q-α=-p₁

└q﹙-α﹚=p₂

q,-α是方程λ²+p₁λ+p₂=0（只研究△=p₁²-4p₂≥0）的两根，设两根为λ₁,λ₂，不妨取q=λ₁ , α=-λ₂ ，

∴aₙ₊₁-λ₂aₙ=﹙a₂-λ₂a₁﹚λ₁ⁿ⁻¹

这个方程在类型（2）中已研究过，不再重复。

﹙7﹚aₙ₊₂+p₁aₙ₊₁+p₂aₙ=c

（常数p₁,p₂,c≠0，n∈N*）

假设aₙ₊₂+αaₙ₊₁=q﹙aₙ₊₁+αaₙ﹚+c，其中q,α为待定常数，还原后比较系数得，

┌q-α=-p₁

└﹙-α﹚q=p₂

由方程λ²+p₁λ+p₂=0（p²-4p≥0）

可求得α=-λ₂,q=λ₁ ，于是有

aₙ₊₂-λ₂aₙ₊₁=λ₁﹙aₙ₊₁-λ₂aₙ﹚+c

设bₙ=aₙ₊₁-λ₂aₙ ，则bₙ₊₁=λ₁bₙ+c ，是类型﹙1﹚，不再重复。

注：若把类型﹙7﹚的方程中的常数c换成变数kcⁿ或kcⁿ+t ，利用上述方法可转化为类型﹙2﹚和﹙5﹚.

上述七类递归方程的解法，主要掌握前五类递归方程的解法即可，求后两类递归方程的通解的思路与前五类求通解的思路相同，只需多次构造新数列而已。本文论述的七类递归方程的解法，重在理解思路，没必要硬记通解。

下面举两个例子。

例1 已知数列{aₙ}中，Sₙ是它的前n项和，且Sₙ₊₁=4aₙ+2（n∈N*﹚，a₁=1，求数列{aₙ}的通项公式.

解:∵Sₙ₊₁=4aₙ+2，

∴Sₙ₊₂=4aₙ₊₁+2

∴aₙ₊₂=4aₙ₊₁-4aₙ（n∈N*）

假设aₙ₊₂+αaₙ₊₁=k﹙aₙ₊₁+αaₙ﹚

整理得，aₙ₊₂=﹙k-α﹚aₙ₊₁+kαaₙ

∴k-α=4，kα=-4

∴α=-2，k=2

∴aₙ₊₂-2aₙ₊₁=2﹙aₙ₊₁-2aₙ﹚

a₂=S₂-S₁=4a₁+2-a₁=5

当n=1时， a₂-2a₁=3

∴aₙ₊₁-2aₙ=3·2ⁿ⁻¹

易得，aₙ₊₁/2ⁿ⁺¹-aₙ/2ⁿ=3/4

∴aₙ/2ⁿ=1/2+﹙n-1﹚·3/4

∴aₙ=﹙3n-1﹚·2ⁿ⁻²（n∈N*）

例2 设数列{aₙ}的前n项和Sₙ与aₙ的关系为Sₙ=-baₙ+1-1/﹙1+b﹚ⁿ，﹙n∈N*）其中b是与n无关的常数，b≠-1，求数列{aₙ}的通项公式.

解:∵Sₙ=-baₙ+1-1/﹙1+b﹚ⁿ

∴Sₙ₊₁=-baₙ₊₁+1-1/﹙1+b﹚ⁿ⁺¹

∴aₙ₊₁=-baₙ₊₁+baₙ+b/﹙1+b﹚ⁿ⁺¹

aₙ₊₁=baₙ/﹙1+b﹚+b/﹙1+b﹚ⁿ⁺²

设aₙ₊₁+x/﹙1+b﹚ⁿ⁺²

=b/﹙1+b﹚[aₙ+x/﹙1+b﹚ⁿ⁺¹]

整理得，

aₙ₊₁=baₙ/﹙1+b﹚+﹙bx-x﹚/﹙1+b﹚ⁿ⁺²

∴bx-x=b

i﹚当b≠1时，x=b/﹙b-1﹚

aₙ₊₁+b/﹙b-1﹚﹙1+b﹚ⁿ⁺²

=[aₙ+b/﹙b-1﹚﹙1+b﹚ⁿ⁺¹]·b/﹙1+b﹚

a₁=S₁=-ba₁+1-1/﹙b+1﹚=>a₁=b/﹙b+1﹚²

∴a₁+b/﹙1+b﹚²﹙b-1﹚

=b²/﹙b+1﹚²﹙b-1﹚

数列{aₙ+b/﹙1+b﹚ⁿ⁺¹﹙b-1﹚}

是以b²/﹙b+1﹚²﹙b-1﹚为首

项，b/﹙b+1﹚为公比的等比 数列.

∴aₙ=﹙bⁿ⁺¹-b﹚/﹙1+b﹚ⁿ⁺¹﹙b-1﹚

﹙n∈N*﹚

ii﹚当b=1时，已知递推式变为

aₙ₊₁=aₙ/2+1/2ⁿ⁺²

<=>2ⁿ⁺¹aₙ₊₁=2ⁿaₙ+1/2

易得 aₙ=n/2ⁿ⁺¹

综合i﹚ii﹚有，aₙ=

┌n/2ⁿ⁺¹ （b=1）

└﹙b-bⁿ⁺¹﹚/﹙1-b﹚﹙1+b﹚ⁿ⁺¹ （b≠1）

初稿：2003.4︱刘应祥