园锥曲线的光学性质及证明

LYX

人教版全日制普通高中教材《数学》第二册（上）第八章的阅读材料《圆锥曲线的光学性质及其应用》中，提出了抛物线、椭圆、双曲线的光学性质，笔者对这几种曲线的光学性质给出如下证明。

1）抛物线的光学性质

如图1，由抛物线y²=2px焦点F发出的任意一条光线射到抛物线y²=2px上的点P（点P与原点O不重合）反射后的反射光线为PT，则PT平行于x轴.

　　证法1：设点P的坐标为（x₁ , y₁）

射线PT的斜率为k，过点P作抛物线y²=2px的切线l和法线m，则

I：y₁y=p﹙x+x₁），易得，

l的斜率k₁=p/y₁ ,（y₁≠0）

直线PF的斜率k₂=y₁/﹙x₁-p/2）

=2py₁/﹙2px₁-p²）

=2py₁/﹙y₁²-p²）

由光的反射定律知：<3=<4

∴<1=<2

∴﹝2py₁/﹙y₁²-p²﹚-p/y₁﹞/

﹝1+﹙2p²y₁﹚/﹙y₁﹙y₁²-p²﹚﹚﹞

=﹝﹙p/y₁﹚-k﹞/﹝1+﹙pk/y₁﹚﹞

<=>﹙py₁²+p³﹚/﹙y₁³+p²y₁）

=﹙p-y₁k﹚/﹙y₁+kp）

<=>k﹙p²+y₁²﹚=0

∵p²+y₁²≠0

∴k=0

即，PT平行于x轴。

特殊地，当点P与原点O重合时，PT与x轴重合。

证法2，如图2，过点P作PQ垂直于直线l₀：x=-p/2，垂足为Q，连结Q , F，易知点Q的坐标为（-p/2，y₁）.

∴直线QF的斜率k₃=-y₁/p

由证法1知：I的斜率k₁=p/y₁ ,（y₁≠0）

显然，k₃·k₁=-1

∴QF⊥l

又∵|PQ|=|PF|

∴<3=<2

∵<1=<2

∴<1=<3

∴<2+<3+<FPT =<1+<2+<FPT=180⁰

即，线段QP与射线PT共线。

∴PT平行于x轴。

2）椭圆的光学性质

如图3，F₁ , F₂是椭圆：

﹙x²/a²﹚+﹙y²/b²﹚=1的两焦点，则由F₁发出的任意一条光线经椭圆上的一点P反射后，反射光线PT经过焦点F₂ .

证明：当点P与点A或B重合时，结论显然成立.

当点P与点A和B均不重合时，设点P的坐标为（x₁ , y₁﹚，射线PT的斜率为k，过点P作椭圆的切线l和法线m，易知

I：b²x₁x+a²y₁y=a²b²

则l的斜率k₁=-﹙b²x₁﹚/﹙a²y₁﹚,（y₁≠0）

直线PF₁的斜率k₂=y₁/﹙x₁+c﹚

由光的反射定律知：<3=<4

∴<1=<2

∴﹝﹙ y₁/﹙x₁+c﹚﹚+﹙b²x₁/﹙a²y₁﹚﹚﹞/

﹝1-b²x₁y₁/﹙a²y₁﹙x₁+c﹚﹚﹞

=﹝-b²x₁/﹙a²y₁﹚-k﹞/﹝1-kb²x₁/﹙a²y₁﹚﹞

<=>b²/﹙cy₁﹚=﹙-b²x₁-ka²y₁﹚/﹙a²y₁-b²kx₁﹚

<=>k =b²y₁﹙a²+cx₁﹚/﹙b⁴x₁-a²cy₁²﹚

=b²y₁﹙a²+cx₁﹚/

﹙b²﹙a²-c²﹚x₁-c﹙a²b²-b²x₁²﹚﹚

=b²y₁﹙a²+cx₁﹚/﹙b²﹙x₁-c﹚﹙a²+cx₁﹚﹚

=y₁/﹙x₁-c﹚

于是射线PT所在直线的方程为

PT： y-y₁=﹙y₁/﹙x₁-c﹚﹚﹙x-x₁﹚，将点F₂﹙c , 0﹚的坐标代入此方程显然成立。即反射光线PT经过焦点F₂﹙c , 0﹚.

双曲线的光学性质见教材第二册﹙上﹚第八章的阅读材料，该性质的证明与椭圆的光学性质的证明类似，请读者尝试。

初稿：2007.9︱刘应祥