突破！从中国数学家陆家羲的理论证明到本人给出的完整具体解，跨世纪寇克曼15名女生难题终被攻克

平安

寇克曼 15 名女生问题：某教员打算这样安排她班上的十五名女生散步，散步时三名女生为一组共五组，为使每两个女生之间都有充分的交流机会，问如何在 7 天内每天安排一次散步，使得每两名女生在这一周内一道散步恰好一次。

这一问题是寇克曼在 1850 年提出来的，所以称为寇克曼问题。

寇克曼在1850年提出的15名女生问题中，他本人就给出了一个完整的7天分组方案，该方案确保任意两名女生在7天内恰好同行一次。‌

具体分组如下（以数字1-15表示女生）：

星期日‌: {1,2,3}, {4,8,12}, {5,10,15}, {6,11,13}, {7,9,14}

‌星期一‌: {1,4,5}, {2,8,10}, {3,13,14}, {6,9,15}, {7,11,12}

‌星期二‌: {1,6,7}, {2,9,11}, {3,12,15}, {4,10,14}, {5,8,13}

‌星期三‌: {1,8,9}, {2,12,14}, {3,5,6}, {4,11,15}, {7,10,13}

‌星期四‌: {1,10,11}, {2,13,15}, {3,4,7}, {5,9,12}, {6,8,14}

‌星期五‌: {1,12,13}, {2,4,9}, {3,8,11}, {5,7,14}, {6,10,15}

‌星期六‌: {1,14,15}, {2,5,7}, {3,9,10}, {4,12,13}, {6,8,11}

该解满足问题要求：每个女生每天被分入一组，且任意两人在整个周期中仅同行一次。‌

然而，研究表明寇克曼的解并非唯一答案。

陆家羲的贡献

陆家羲是中国数学界一位鲜为人知却贡献卓著的天才，他独立解决了困扰数学界百年的“寇克曼女生问题”及斯坦纳系列问题，却因时代局限与学术偏见长期未被认可‌。

陆家羲的突破与遗憾

‌自学成才的起点‌

1956年，初中文化的陆家羲通过《数学方法趣引》接触到该问题，毅然放弃工作考入大学钻研‌。1961年，他完成首篇论文《寇克满系列与斯坦纳系列的构造方法》，比意大利学者早10年给出解，但投稿被拒，理由竟是“无价值”‌。

学术成果的埋没‌

1971年意大利学者发表相同结论并获得国际认可时，陆家羲才发现自己的成果早已被忽视‌。他随后转向斯坦纳系列问题并再次破解，却仍遭国内冷遇，最终通过国际期刊才获得承认‌。

迟来的认可与启示

‌身后荣誉‌：1983年外国学者推荐下，陆家羲才在国内学术会议亮相‌；1989年其研究获国家自然科学一等奖，但本人已因过度劳累去世‌。

‌历史反思‌：他的经历揭示了学术评价体系的局限，以及基层科研工作者面临的困境‌。

陆家羲的故事是科学史上“孤独天才”的典型，其坚持与遗憾至今发人深省‌。

陆家羲虽在理论上解决了寇克曼15名女生问题，但未公开其具体分组安排方案‌。

美国丹尼斯顿

借助计算机求解寇克曼问题的成果

丹尼斯顿（R.H.F. Denniston）在1974年通过电子计算机解决了科克曼女生问题（即寇克曼问题），这一过程体现了组合数学问题的极端复杂性‌。以下是关键点分析：

1.问题本质的复杂性‌

科克曼女生问题要求将15名女生连续7天分成5组三人行，且每对女生仅同组一次。这属于组合设计理论中的(15,3,2)设计，需满足严格的排列组合约束条件‌。其解空间庞大，手工枚举几乎不可能完成‌。

2.计算机辅助的必要性‌

丹尼斯顿的突破在于借助计算机穷举可能的组合方案，并通过算法筛选有效解。这一过程涉及：

高维搜索空间‌：需验证数百万种分组可能性；

‌约束条件验证‌：确保每对女生仅相遇一次的数学逻辑需精确编程实现‌。

‌3.历史背景与对比‌

科克曼本人曾给出一个手工解，但未证明唯一性‌；

皮尔斯（B. Pierce）在1860年提出数论规律解法，但仅适用于特定情况‌；

丹尼斯顿的计算机解法首次系统性解决了该问题的一般性验证‌。

4.现代意义‌

该问题的解决推动了组合数学和计算机辅助证明的发展，类似舒尔茨（Peter Scholze）的“液体张量实验”也依赖计算机验证复杂数学结构‌。科克曼问题现被视为组合设计理论的经典案例，与几何朗兰兹猜想等当代难题的解决思路有共通性‌。

美国的丹尼斯顿（R.H.Denniston）借助电子计算机得以确证有13个方案。

星期日 {i, a, b}，{8+i, 9+i, 12+i}，{3+i, 7+i, 10+i}，{2+i, 6+i, 11+i}，{1+i, 4+i, 5+i}；

星期一 {2+i, 8+i, b}，{1+i, 6+i, a}，{4+i, 7+i, 11+i}，{3+i, 5+i, 9+i}，{i, 10+i, 12+i}；

星期二 {11+i, 12+i, b}，{4+i, 10+i, a}，{6+i, 7+i, 9+i}，{1+i, 2+i, 3+i}，{i, 5+i, 8+i}；

星期三 {5+i, 7+i, b}，{3+i, 12+i, a}，{2+i, 9+i, 10+i}，{1+i, 8+i, 11+i}，{i, 4+i, 6+i}；

星期四 {4+i, 9+i, b}，{2+i, 5+i, a}，{6+i, 8+i, 10+i}，{1+i, 7+i, 12+i}，{i, 3+i, 11+i}；

星期五 {1+i, 10+i, b}，{9+i, 11+i, a}，{5+i, 6+i, 12+i}，{3+i, 4+i, 8+i}，{i, 2+i, 7+i}；

星期六 {3+i, 6+i, b}，{7+i, 8+i, a}，{5+i, 10+i, 11+i}，{2+i, 4+i, 12+i}，{i, 1+i, 9+i}。

其中15名女生分别标记为a，b，0，1，...，12，而数字i=0，1，2，...，12。每取i的一个值，所列的5×7个区组就给出了所求的队形安排。

但在本人看来，它们都是同构解，只能说是一个特解的几个不同变化。

寇克曼15名女生问题，虽然在理论上得到了解决，但它的全解直到现在却是无人能解，而本人通过数学建模，借助计算机非常幸运地求得了此特殊问题的全解。

本人的突破

巧用Excel函数与迭代完美求得全解：11个奠基解，1328个基础解。

序言有点长

寇克曼15名女生问题：某教员打算这样安排她班上的十五名女生散步，散步时三名女生为一组共五组，为使每两个女生之间都有充分的交流机会，问如何在7天内每天安排一次散步，使得每两名女生在这一周内一道散步恰好一次。

这一问题是寇克曼在1850年提出来的，称为寇克曼问题，直到1974年才由美国的丹尼斯顿借助电子计算机得以确证有13个方案，但经本人对这13个方案研究，它们都只是本文求得的所有基础解中的一个解的几个同构解。

1961—1978年，中国数学家陆家羲解答了这个问题，并发表在世界性刋物中，但他英年早逝，没见到他遗留下来的具体安排。

近一些年来，也时常有爱好者构造出一些具体解，但都是一些零星的特解，那么这个问题到底有哪些解呢！本人也十分好奇，想着直接用电脑编程计算，各国数学专家和一些爱好者们一定早就尝试过，于是我用自已熟悉的Excel函数与迭代功能作为研究工具，倒是获得了非常令人满意的结果，不但求出了全部基础解1328个，而且巧妙地给它们按同构解（简单地说，凡是能经同一小组内位置、同一天各小组位置、以及7天前后位置交换得到的两个解叫做同构解）进行分组，获得了11组不同构解，后者估计用电脑编程计算也是难以实现，所以对于到底有多少组解的问题，本文的结论是：当把同构解看作是同一个解时，有且仅有11个不同构解。

本文除了给出上述结果外，还对于任意给出的一个解，给出了一个万能的同构变换方法，使它成为这11个不同构解中的一个。

如果只是想着求出寇克曼15名女生问题全解，就用不了多大的篇幅，但在求解过程中发现Excel函数与迭代的应用实在有太多的方法和技巧，于是想着与大家分享，就编写了这样一本小册子。

另外考虑到许多读者所用的Excel版本较低，所以文章中选用的是Excel2007版，许多较高版本中的新函数都末应用，使得在求解过程中应用公式难免复杂迂回，请大家见谅。

也对只感兴趣于知道哪些解的读者，本人在最后一章不用迭代和数组公式，只用最普通的4个单元格函数公式就能写出这1328个基础解的方法，当然需要1328组每组15个数辅助。

限于篇幅文中对各个Excel函数与迭代均未作详细解释，有兴趣的读者可以自行研究。

作者：童文虎 编著于2023年

看目录就知道不容易

数学建模方法

建模后获得的3种：A型、B型和C型的特定取值。

几个重要的定义和定理：

定义1：凡是用1到15的任意的5组3个连续自然数(连续自然数不分排序)来替换解中的1到15的自然数的变换，称作交换变换。

定义2：如果一个解能够通过另一个解的交换变换得到，则这两个解称为同构交换解，简称同构解。

定理1：寇克曼 15 名女生问题有且仅有 A 型基础解 864 个，B 型基础解 464 个，C型无解，合计共有1328 个解。

称这1328个解为基础解。

定理2：寇克曼 15 名女生问题的基础解共 1328 个，可分组成 11 个子解集，各个子解集对于交换变换是自封闭的。

定义3：在寇克曼 15 名女生问题的 11 个自封闭集（分组）中各任取一个基础解得 11 个基础解，由这 11个基础解组成的解集叫做寇克曼 15 名女生问题的奠基解集。

定理3：寇克曼 15 名女生问题的奠基解集中的每一个基础解生成的所有交换解，就是寇克曼 15 名女生问题的所有解。

不要过程，直接展示结果

寇克曼15名女生问题的奠基解集举例

奠基解集共有：

30^4×156^3×192^3×164种不同取法，下面是其中的一个奠基解集：

第 1-4 个奠基解各同构于 30 个基础解

第 5-7 个奠基解各同构于 156 个基础解

第 8-10 个奠基解各同构于 192 个基础解

第 11 个奠基解同构于 164 个基础解

上述 11 个奠基解合计同构于 1328 个基础解，它们都是 A 型基础解，于是得：

定理 4：寇克曼 15 名女生问题的所有解都同构于 A 型基础解。

至此，从陆家羲的理论证明到本人给出的完整解，跨世纪的寇克曼 15 名女生问题这一世界难题得以完美解决！

关于寇克曼15名女生问题的求解情况，Al综合现有研究成果可明确以下结论：

一、经典解的存在性已证实‌：

早在计算机普及前，数学家已通过组合设计理论给出手动构造解：

皮尔斯（B. Pierce）于1860年左右提出‌系统化解法‌，被西尔维斯特（Sylvester）评价为最优方案‌。

该方案基于编号轮换规则（如固定一人，其余14人按编号与日期数之和模14分组），实现严格满足条件的排列‌。

二、计算机求解的进展

1.计算机验证：

计算机可高效验证经典解的正确性，并生成其他‌等效解或变形解‌（如调整编号顺序）。

‌2.是否穷举全部解？‌

未完全穷举‌。尽管计算机能生成多组有效解，但15人问题的解空间规模巨大（需满足组合平衡性），‌全部解的枚举尚未完成‌。

现有研究聚焦于‌构造特定类型的解‌（如对称解、循环解），而非遍历所有可能性‌。

三、关键结论

求解方向 状态 依据来源

存在性证明：已解决（手动构造）

计算机验证：可高效验证经典解，全部解的穷举枚举未完成‌（规模过大）。

简言之，计算机已能生成并验证多组有效解，但受限于组合爆炸问题，‌全部可能解的穷举尚未实现‌，当前成果以理论构造与部分枚举为主‌。

然而，跨世纪的求寇克曼15名女生全解难题，本人却用Excel函数与迭代巧妙地求得了全部解。

至此，从陆家羲的理论证明到本人给出的全解，可以向全世界声明：寇克曼15名女生问题，这一世界难题我们中国人完美解决了！

由于投稿无人审稿，所以直接分享在此，敬请大家多提宝贵意见。