<p class="ql-block"> 式子√﹙a+k√b﹚（a,b∈Q⁺，k∈Q）的化简，在高中数学中经常遇到，如：</p><p class="ql-block">√﹙3±2√2﹚=√2±1 等。式子中数字较简单的可利用观察法化简，若式子中的数字规律性不很明显，就不容易观察了。还是找个一般的解法为好。</p><p class="ql-block"> 下面给出一个命题：</p><p class="ql-block"> 在式子√﹙a+k√b﹚（a,b∈Q⁺，k∈Q﹚中，若方程组：</p><p class="ql-block">x+y=a，±2√﹙xy﹚=k√b有正有理数解，则√﹙a+k√b﹚=|√x±√y|</p><p class="ql-block">﹙k>0取“+”，k<0取“-”）</p><p class="ql-block"> 事实上，由于 x,y∈Q⁺，则方程组：x+y=a，±2√﹙xy﹚=k√b可改写为，</p><p class="ql-block">a=﹙√x﹚²+（√y﹚²，</p><p class="ql-block">k√b=±2√x·√y</p><p class="ql-block">代入</p><p class="ql-block">√﹙a+k√b﹚</p><p class="ql-block">=√﹙﹙√x﹚²±2√x·√y+﹙√y﹚²）</p><p class="ql-block">=|√x±√y|（k>0取“+”，k<0取“-”）</p><p class="ql-block"> 例1，化简：√﹙1+√3/2）</p><p class="ql-block"> 解：由x+y=1，2√﹙xy﹚=√3/2</p><p class="ql-block"> 得，x=3/4，y=1/4</p><p class="ql-block"> ∴√﹙1+√3/2﹚=√3/2+1/2</p><p class="ql-block"> 例2，化简：√﹙5/6-√6/3）</p><p class="ql-block"> 解：由x+y=5/6，2√﹙xy﹚=√6/3</p><p class="ql-block"> 得，x=1/2，y=1/3</p><p class="ql-block"> ∴√﹙5/6-√6/3﹚=|√2/2-√3/3|</p><p class="ql-block"> =√2/2-√3/3</p><p class="ql-block"> 当然，有些题目能通过观察直接写出结果就没有必要用上还方法解决了。 如例1： √﹙1+√3/2﹚=√﹝﹙4+2√3﹚/4﹞</p><p class="ql-block"> =√﹝﹙﹙√3﹚²+2√3+1﹚/4﹚﹞</p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(1, 1, 1);"> =√3/2+1/2 </span></p><p class="ql-block"> 比第一种方法运算简单，但例2用观察法就不容易了。</p><p class="ql-block"><i style="font-size:15px; color:rgb(22, 126, 251);"> ꧁初稿：1999.12︱刘应祥꧂</i></p>