斐 波 那 契 数 列 和 斐波那契数列的通项公式

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　　意大利数学家斐波那契﹙约1175-1250﹚提出了一个有趣的问题：“假定一对兔子每一个月生一对小兔子，而小兔子在出生后两个月就有生殖能力。由一对兔子开始，一年后可以繁殖成多少对兔子？”

这个问题给出了一个数列：

1，1，2，3，5，8，13，21……，称它为斐波那契数列。该数列从第三项起，每一项等于它的前两项之和。若第n项为aₙ，则有：

aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂ ，a₁=a₂=1，n∈N*且n≥3

按照上面的递推式不难算出a₁₂=144，即一年后可以繁殖144对兔子。如果n的取值很大时，利用递推式来完成运算就不方便了。因此须找出斐波那契数列的通项公式。

假设aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂可变形为

aₙ-αaₙ₋₁=β﹙aₙ₋₁-αaₙ₋₂），n≥3,n∈N*

··········（1）

将（1）式还原为，

aₙ=﹙α+β﹚aₙ₋₁-αβaₙ₋₂

与aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂比较系数得，

α+β=1且 αβ=-1

易知：α，β是方程λ²-λ-1=0的两根，不妨取，

α=﹙1+√5﹚/2；β=﹙1-√5﹚/2

代入（1）式有，

aₙ-﹙﹙1+√5﹚/2﹚aₙ₋₁=﹙﹙1-√5﹚/2﹚·

﹙aₙ₋₁-﹙﹙1+√5﹚/2﹚aₙ₋₂﹚，n≥2，n∈N*

于是，构造了一个新数列：

{aₙ-﹙﹙1+√5﹚/2﹚aₙ₋₁}

它是以﹙1-√5﹚/2为公比的等比数列，首项为：a₂-﹙﹙1+√5﹚/2﹚a₁

∵a₁=a₂=1

∴a₂-﹙﹙1+√5﹚/2﹚a₁=﹙1-√5﹚/2

∴aₙ-﹙﹙1+√5﹚/2﹚aₙ₋₁

=﹙﹙1-√5﹚/2﹚ⁿ⁻¹，n≥2，n∈N*

再假设aₙ-﹙﹙1+√5﹚/2﹚aₙ₋₁

=﹙﹙1-√5﹚/2﹚ⁿ⁻¹

可转化为，

aₙ+A﹙﹙1-√5﹚/2﹚ⁿ=﹙﹙1+√5﹚/2﹚·

·﹙aₙ₋₁+A﹙﹙1-√5﹚/2﹚ⁿ⁻¹﹚

··········（2）

将（2）式还原为，

aₙ-﹙﹙1+√5﹚/2﹚aₙ₋₁

=√5·A﹙﹙1-√5﹚/2﹚ⁿ⁻¹

与 aₙ-﹙﹙1+√5﹚/2﹚aₙ₋₁

=﹙﹙1-√5﹚/2﹚ⁿ⁻¹比较系数得，

A=1/√5 ，代入（2）有

aₙ+﹙1/√5﹚﹙﹙1-√5﹚/2﹚ⁿ

=﹙﹙1+√5﹚/2﹚·

·﹝aₙ₋₁+﹙1/√5﹚·﹙﹙1-√5﹚/2﹚ⁿ⁻¹﹚﹞

（n≥2，n∈N*）

∴aₙ+﹙1/√5﹚﹙﹙1-√5﹚/2﹚ⁿ

=﹙﹙1+√5﹚/2√5﹚﹙﹙1+√5﹚/2﹚ⁿ⁻¹ 即，

aₙ=﹙1/√5﹚[﹙﹙1+√5﹚/2﹚ⁿ-

-﹙﹙1-√5﹚/2﹚ⁿ]，﹙n∈N*）

这就是斐波那契数列的通项公式。其实人们在很早以前就发现了该公式，是法国数学家比内最早给出了该公式的一种证法，因此也叫比内公式。

斐波那契数列有许多有趣的性质。比如数列中的任意两个相邻项aₙ₋₁，aₙ

满足关系：aₙ²-aₙ₋₁aₙ-aₙ₋₁²=1或-1，更有趣的是当n→∞时，

lim﹙aₙ₋₁/aₙ﹚ =﹙√5-1﹚/2 ≈0.618.

正是将单位线段分成黄金比例的大线段的长。很多生物的生长在某种假定下，也可以构成斐波那契数列。（见下方配图）

初稿：2003.6 ︱ 刘应祥