初中数学五日一题(5)(41--50)解法与解析集锦

海阔天空

文字:海阔天空

题目:主要源于绩优学案同步练习册

我的两个初衷

自从2024年9月1日开学起，九年制义务教育阶段的一、七年级同时开始使用新教材。我的大孙女也正好进入七年级，这让我毫无疑问的在关注着她的学习动向，特别是数学这一学科。

本级学生数学科统一使用的是名为绩优学案的同步练习册，这应该是小学阶段的学习与评价改了个名称。虽然我没有也没必要给她经常性的辅导，但我始终会一如既往的坚持一个做法，就是我手头同时具有跟她同步的教材和同步练习册，而且在一题不漏和不厌其烦的过目、钻研、理解。如果她随时需要，我一定会让她满意，这就是我的第一初衷。

我有一个深刻的感觉，现在七年级的同步练习册上有相当数量的题目从难度和跨度上都不亚于十年前八、九年级的题目。我虽为一名退休数学教师，但这好多题目都让我完全是一种新的感觉，更需有新的认知。幸亏本人酷爱数学，否则这个做法难以坚持下去。

数学同步练习册上有一些题目很有趣味性和代表性，但资料上提供的答案往往是避重就轻，只有结果而没有过程或是解析过程过于简略。有些题目很有必要深钻细研、深刻挖掘，但有时通过网上查询总难让人感到满意，所以有的题目会让我通过多时甚至数日才能琢磨到毫不含糊的程度。这正是我分享“五日一题解法与解析集锦”的主要原由。

借用网络与人为善，为本级优秀学子们突破高难度题目寻求正确解题思路提供参考和借鉴，这是我的第二初衷。如果不出意外，我的这个做法会一直坚持到本级学生初中毕业。本人做为一名退休教师，若能对任何学子有一丝帮助，那将是我晚年生活的最大欣慰。

两点说明

1.本五日一题集锦题目主要来源于❶绩优学案中能力提升题、素养拓展题栏目；❷教材中单元习题和复习题中问题解决、联系拓广等栏目；❸各单元测评卷中个别精选题目；❹寒暑假作业中让我留有标记的题目；❺我孙女测试卷上出现过被我看中的题目。

2.我对选入的题目原则上保证题意分析、详解过程、解后反思这三步走，但个别题目例外，要么只有题意分析，要么只有解答过程，要么答案就在题意分析中，题意分析中重在谈讨问题的转化方法和途径，探究难点突破的巧思妙想。解后反思既是对题意分析的补充，又是自我感悟的分享。

2025年4月10日题

41.一盒乒乓球共有6个，其中2个次品，4个正品，正品和次品的大小、形状完全相同，每次任取3个，出现了下列事件：⑴有3个正品；⑵至少有一个次品；⑶有3个次品；⑷至少有一个正品。分别指出这些事件是什么事件。(七年级下学期“绩优学案第三章概率初步.1.感受可能性.基础过关题p53页7题)

题意分析及解答：

1.在可重复试验中，事件的发生一般都有三种可能性，一定不会发生的可称为不可能事件；一定会发生的可称为必然事件；可能发生也可能不发生的可称为随机事件。

2.⑴、⑵应是随机事件；⑶是不可能事件；⑷是必然事件。

解后反思：

在可重复试验中，任何事件的发生无非三种可能。

2025年4月15日题

42.(七年级下学期“绩优学案第三章概率初步.2.频率的稳定性.第一课时.频率的稳定性.p56页能力提升7题)

⑴求X的值；

⑵当客户给出评价不低于四星时，称客户获得良好用餐体验。请你给小红从A、B、C中推荐一家快餐店，使她获得良好用餐体验的可能性最大。写出你推荐的结果，并说明理由。

题意分析：

1.上表中每个数据反应了顾客对各个快餐店评价为各星级的人数多少。

2.对各个快餐店均抽查了1000名顾客的各星级的认可情况。

3.不低于四星意即顾客中获得良好用餐体验的人数等于或大于四星评价的。

4.顾客获得良好用餐体验的可能性大小为获得良好用餐体验人数与调查总人数的商。

解答过程：

解后反思：

1.本类题目中符合某种要求所占的比重越大，即占总人数的频率越高就说明可能性越大。

2.其实从上面表格中的数据可直接看出B店的可能性最大。

2025年4月20日题

43.(七年级下学期“绩优学案第三章概率初步.2.频率的稳定性.第2课时.用频率估计概率.p58页核心解读例题2)

题意分析与解答：

解后反思：

1.必然事件就是一定能发生的事件，随机事件就是有可能发生的事件。如果袋子里没有白球了，那么摸出红球的事件就是必然事件；如果袋子里还有白球，那么摸出红球的事件就是随机事件。

2.经过取出又放入后，要计算摸出红球的可能性，那么袋子里总数并未改变，而红球个数发生了改变，故得出⑵的解法。

2025年4月25日题

44.如下图，平面内有五个点A、B、C、D、E，以其中任意三个点画三角形最多可以画▁▁个不同的三角形。(七年级下学期“绩优学案第四章三角形.1.认识三角形.第1课时.三角形的角.p74页能力提升7题)

题意分析及解答：

思考一：

1.首先考虑构成三角形的过程，即先把任意两点连结成1条线段，再把这条线段的两个端点和另外任何1个点连结起来就是1个三角形了。

2.再思考这5个点能构成多少条线段，因为每一个点都可以和其它4个点连结成4条线段，所以这5个点和其它点可连结成5×4=20条线段。

3.因为一条线段自身已经占了2个点了，所以每条线段只能再跟其它3点连成3个三角形。故有20条线段要连结成20×3=60个三角形。

4.但有一个问题：比如以A、B、C三点构成的三角形已经计算为△ABC、△ACB、△BAC、

△BCA、△CAB、△CBA。而实质上这6个三角形是同一个三角形，换句话说每一个三角形都算了6次，所以实质上的三角形个数应为60÷6=10个三角形。

思考二：

1.如果在A、B、C、D、E这5个点中任取3个点就可以组成一个三角形，那么先取第一个点时有5种可能；再取第二个点时就有4种可能了；最后取第三点时只有3种可能了。

2.这样思考的话，从5点中任取三个点构成三角形的个数为5×4×3=60个三角形。

3.按照思考一中思路，也要除以6还是10个三角形。

解后反思：

1.本题中得到60个三角形的思路在数学方法上可称为组合法，这是按照一定的排列组合思路进行的。

2.同一个△ABC中，用某1个字母开头有2种表示方式，那么用3个字母分别开头就有3×2=6种表示方式。

3.上面这种方式可称为排列组合。那么5点中任取3点构成三角形的个数可用一个组合公式计算出来。

4.由此可推导出一个组合公式。

2025年4月30日题

45.七年级下学期“绩优学案第四章三角形.1.认识三角形.第1课时.三角形的角.p75页素养拓展11题)

题意分析：

1.本题的实质是在△ABC的AC边上由A点、C点及AC上其它各点能得到多少条线段就能和另一个顶点B连结成多少个三角形。

2.比如AC上有三个点连同A点、C点共有5点时，构成线段条数为5×4×½=10，也就是能和顶点B连结成10个三角形。

解答过程：

解：⑴完成上表：过程略

⑵设共连接了X个点，由题意得

½(X+2)(X+1)=55

X²+3X-108=0

 X=9 X=-12(不合题意舍去)

答：出现55个三角形时，连接了AC上9个点。

⑶若在AC上取n个点，那么连同A点、C点共有n+2个点，则应有½(n+2)×(n+1)条线段，所以跟B点就可连结出½(n+2)(n+1)个三角形。

解后反思：

1.本类题目用到了组合的思想和公式，掌握了公式可以按步就班的解决相关问题。

2.要理解5!=5×4×3×2×1，3!=3×2×1，2!=2×1。和组合公式的意义。

2025年5月5日题

46.如图4-1-3-9，在△ABC中，已知CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，DE∥AC，CE是△ABC的一条角平分线，试说明∠EDF=∠BDF。(七年级下学期“绩优学案第四章三角形.1.认识三角形.第3课时.三角形的高、中线和角平分线.p82页能力提升7题)

题意分析：

1..本题中已知条件为“两个垂直、一个平行，一条角平分线”，要说明两角相等。

2.本题除了应用上面的这些已知条件外，更有一个等量代换多次用到。

5.要从已知出发得到两角相等可通过逆推借助等量代换逐步把问题简单化，即逐渐把问题变成用已知条件能直接推出的问题。

4.本题还需借助用数字表示角。

详解过程：

逆推：寻求解题思路

顺推：书写解题过程

解后反思：

1.由本题解法可知，等量代换的本质就是，如果能看出需验证的等式某一边等于什么，那就叫等式的另一边也等于什么，这样就把一个等式的验证转化为两个等式的验证。问题得到了转化。

2.逆推过程和顺推过程有一个细微的区别。即逆推过程不需转弯和导拐，而顺推过程在表达方式上和形式上需进行必要变通和调整并需适时转弯。

3.题目难度不大时也可把逆推过程在心里完成不必写出，有的题目还可由条件和结论这两头到中间的进行思考。即已知条件能得到什么？按结论又需要什么？这样思考一般不必写出，只需心理活动。

2025年5月10日题

47.如图4-2-8，A、D、E三点在同一条直线上，且△BAD全等于△ACE

⑴试说明BD=DE+CE；

⑵当△ABD满足什么条件时，BD∥CE？(七年级下学期“绩优学案第四章三角形.2.全等三角形.p85页素养拓展8题)

题意分析：

题意分析：

1.本题中问题⑴是要验证三条线段之间的和差关系，而且这三条线段并非共线。

2.要解决这类问题，首先要通过等量代换把问题转化为彼此共线问题。

3.本题中问题⑵验证两线平行时要用到邻补角相等，这样的两角相等只要知道其中之一是90⁰问题就解了，这正是△ABD要满足的条件。

解后反思：

1.问题的转化往往在逆推过程中能找到恰到好处的方法。

2.比如要把不共线的三线和差关系转化为共线的三线和差关系，还有要得到邻补角相等都是如此。

3.这些装化过程都离不开等量代换这一方法。

2025年5月15日题

48.(七年级下学期“绩优学案第四章三角形.39.探索三角形全等的条件.p91页课后巩固能力提升11题)

题意分析：

1.本题是探索三角形全等条件中多种方法的识别，即“边角边”判定方法的应用。

2.这个判定方法显然要求具备三个条件，原题中已给出两个，还需进一步得到一个。

解答过程：

解后反思：

1.关于三角形全等的问题，在书写时必须注意对应二字，对应字母必须写在对应的位置上，即字母顺序、等号前后都不能马虎。

2.用推出法进行推理对并列关系和从属关系特别严格，反思路非常清楚。

2025年5月20日题

49.(七年级下学期“绩优学案第四章三角形.39.探索三角形全等的条件.第2课时“角边角及角角边”p91页课后巩固能力提升12题)

题意分析：

1.本题涉及到用“角边角”和“角角边”两种方法验证全等三角形的判定。

2.本题重点突出了两条对应边同时存在于两对三角形当中，所以要想得到一对全等，就牵涉到要先得到另一对先全等。

3.问题转化仍在逆推过程中通有你等量代换来突破的。

详解过程：

解后反思：

1.对照逆推和顺推两个过程，应该明白，逆推就是从要得到的结论一直到能直接用已知条件推出为止，不倒拐，不装弯。

2.顺推就是把逆推稍微进行必要的调整，严格按照并列关系或从属关系书写出来，该转弯时转弯，该倒拐处倒拐。

2025年5月20日题

50.(七年级下学期“绩优学案第四章三角形.3.探索三角形全等的条件.第3课时“边角边”p96页课后巩固能力提升11题)

题意分析：

1.需要说明的AE=DC可以成立。因为能按“边角边”找到这两条线段在一对全等三角形中是对应边。

2.需要说明的BF=BG不能成立。因为按照“边角边”关系BF和BG所在的两个三角形中，只能有一对边相等，两个角不相等，那么两个三角形不可能全等，所以另一对边也不可能相等。

解后反思：

1.要说明两条线段相等，常用的方法就是说明这两条线段所在的两个三角形符合全等的条件。

2要说明两条线段不等，同样可以首先说明这两条线段所在的两个三角形不具备全等的条件即可。

初中数学五日一题⑸(41--50)解法与解析集锦到此结束，后续初中数学五日一题⑹(51--60)将另文发表，欢迎光临和关注！

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