数学推理能力培养及其教学实践

张庄子小学 陈永军

研求不惧炙尘浮，

展示辛推数课苏。

汲取丰经勤实践，

更新理念踏征途。

——唐山市数学研讨课

数学推理能力培养及其教学实践

河北省教育科学研究院

崔海江

一、

关于推理能力的描述。

（一）作为智力结构的推理能力

人的理性思维主要是指人的“逻辑-数理智力”。即运算和推理的能力，表现为对事物间各种关系如类比、对比、因果和逻辑等关系的敏感，以及通过数理运算和逻辑推理等进行思维的能力。它是一种对于理性逻辑思维较显著的智力体现。

----《智力的结构》霍华德·加德纳，1983年出版。

（二）作为数学本质的推理能力

逻辑学是指思维的基本形式之一（另两个是概念、判断），是由一个或几个已知的判断（前提）推出新判断（结论）的过程，有直接推理，有间接推理等。

《怎样解题》----波利亚

数学有两个侧面：

一方面它是欧几里得式的严谨科学、从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学：另一方面，创造过程中的数学，看起来却像一门试验性的归纳科学。但无论是演绎还是归纳，都离不开“推理”的思维和方法。

逻辑学上，推理有三种形式：演绎推理，归纳推理，类比推理。

演绎推理人类特有的一种心理活动。演绎推理是一种从一般到特殊的推理。在这种推理中，我们根据已知的一般原理、原则、推断到尚未认识的特殊事实，从而获得关于特殊事实的新认识。初中数学平面几何里的证明采用的就是典型的演绎推理形式。

不同学段演绎能力水平：

第一学段的水平是应用简单概念对直接感知的事实进行简单的演绎推理；

第二学段的水平是除了能用概念对直接感知的事实进行推理之外，还能对用言语表达的事实进行演绎推理；

第三学段的水平是能自觉的运用演绎推理解决抽象问题。

归纳推理

(inductive reasoning)

归纳推理是一种从特殊或个别到一般的推理。在这种推理中，我们根据已经认识了的一些特殊或个别事实，过渡到尚未认识的一般原理，从而获得新的认识。归纳推理一直被认为是获取知识的有效方法。“尝鼎一脔，他可知矣”就是比喻可以根据部分推知全体，这就是归纳推理。

不同学段归纳推理能力水平

儿童归纳推理的能力随年龄的增长而提高；材料中所包含的因素越多，归纳的难度越大，需要归纳概括的意义单位达到3个时。

第一学段约50%的儿童能正确完成；

第二学段正确完成的人数比例为60%；

第三学段这一比率达到8o%；

在发展的速度方面，三四年级归纳能力发展缓慢，四五年级是发展的一个转折点。

类比推理

(analogical reasoning)

类比推理是根据两个或两类对象在一系列属性上相同（或相似），推断它们在另一属性上也相同（或相似）的推理。

“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进---康德

类比推理具有以下特点：第一，从思维进程来看，类比推理主要是从个别到个别的推理。第二，类比推理的结论不一定是可靠的，当前提真时，结论未必真。

不同学段类比推理能力水平

小学生类比推理能力的发展存在着年龄阶段性的差异，而且各年龄阶段之间的差异具有显著性；教育条件的好坏显著地影响着儿童类比推理能力的发展。

第一学段类比推理能力较低，平均正确人数比率仅有20%；

第二学段小学这一比率发展到35%；

第三学段则达到60%。

小学阶段，不完全归纳推理和类比推理也统称为合情推理。

合情推理

（數字推理規式、團形雅現模式和文

字推理模式。).数子推理模式即给出一个夏列，要求被试仔细观察该势列各数子之间的关系，我出其中的排列规律，然后填补空缺顶，使之符合愿势员的排列规律，数字提理能力主要反晚学生对数量关系的理解能力与反应速度，体现一个人抽象思维的发展水平。

图形推理模式即台出一组图形，要求被试仔细观察谈组图形之同的关系，也出其中的排到规律。图形推理模式有两个待点：一是图形推理是以据理为主、其他想潍方式为输的综合性推显过程、在图形推理中，尤其要伴随看大量的空间想象。二是图形推理的有效性既考虑图形在空间形式结构上的联系，又考虑图形与图形之间内容上的联系。

文字推秀模式即通过语言描述，从已有事实出发，要求被试运用已拿握的事物特征和知识，推导出其中营含的事实性结论或归纳出某些新的结论。

（三）核心素养表现中的推理能力

数学是研究数量关系和空间形式的科学，数学源于对现实世界的抽象，通过对数量和数量关系、图形和图形关系的抽象，得到数学的研究对象及其关系；基于抽象结构，通过对研究对象的符号运算、形式推理、模型构建等，形成数学的结论和方法，帮助人们认识、理解和表达现实世界的本质、关系和规律。

数学不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言。

（三）核心素养表现中的推理能力

小学阶段表现为推理意识。

推理意识主要是指对逻辑推理过程及其意义的初步感悟。知道可以从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论：能够通过简单的归纳或类比，猜想或发现一些初步的结论；通过法则运用，体验数学从一般到特殊的论证过程：对自己及他人的问题解决过程给出合理解释。推理意识有助于养成讲道理、有条理的思维习惯，增强交流能力，是形成推理能力的经验基础。

推理意识：表现在10个方面。

•1.关注数的概念、运算与关系的形成过程，了解其中的前因后果。

（分数引入、通分）

•2.能够依据一定的规则对数量、图形进行分类，知道部分与整体的

关系。（图形认识）

3.知道数学的判断有真有假，如果是真的，能给出理由，如果是假的，能找到实例来反驳。（偶+偶得偶，3的倍数是奇数）

4.初步感悟数学中的对错实由一定现则决定的，不靠哪个人说了算。(1+1=2)

5.能够进行简单的归纳和类比，猜想或发现一些初步的结论。（运算律等，等周方。圆大）

6.能够根据给出的实例找出其中的规律，能够说明规律的一致性，利用规律解决问题，体会一般规律的意义。(100以内数)

7.能够用化归的方法形成局部的演绎推理。（小数乘法)

8.能够理解数学问题的条件与结论，在简单的问题情境中发现和提出有意义的数学问题。（倍比问题）

9.能够基于直观经验和所学的数学知识对简单命题的真假给出自己的判断，并说明理由。（分数大小比较）

10.能够理解别人的思考（包括推理）过程，提出自己的疑问或评价。

（概括别人的观点）

推理

归纳思想：从一个或几个已有数学事实或规则，运用特定方法或法则。推断出某些数学结论的思维过程。是数学

的基本思维方式。

类比推理：类比推理指由系列对象某些相同的属性推断它们在其他属性上也可能相同的一种合情推理形式。

数形结合思想：数形结合是指把抽象的数学语言、数量关系等与直观的几何图形、位置关系等结合起来。

逐步逼近思想：逐步逼近是指由减弱的特殊情况开始，通过不断地发展和完善等，趋近真理的过程。

化归思想：

运筹思想：运筹指为特定目的，在某些限制条件下寻求最优解决方案的筹划过程。

三、教学中推理能力的培养

（一）尊重学生推理能力的发展规律

(1)小学生数学推理能力的发展是一个不断建构的过程。因此，数学推理能力的培养也是一个渐进过程。小学四、五年级是学生数学推理能力发展的一个关键期。

(z)随着年级的升高，程序化水平组和直觉水平组之间的差异越来越明显，呈现出两极分化的状态。男女生的数学推理能力在总体上是平衡的，但在各成分的发展上各有所长。

(3)小学生数学推理能力和数学学业成绩之间存在强的正相关。知识的掌握和能力的发展是相辅相成的。

----南京师范大学 王小宁

1、充分利用教材中的内容和素材，培养学生的合情推理能力。

•(1)在小学“数与代数~板块中，包含着大量的公式、法则、定律以及一些。我规律的内容，大多是通过不完全归钠，类比所得到的、都是培养学生合情推理的有效素材。

(2)在“空间与图形”申培养仓情推理能力。课程标准在关于"空间与图形”的教学中提出：“降低空间与图形的知识内在要求，为求遵循学生的心理发展和学习规律，着职于感知和操作，多从学生熟悉的生活实际出发，让学生动手，识别图形的主要特征和图形变换的基本性质，培养学生一定的合情推理能力。

(3)在小学院计与概率”的模块中，有大量需要学生故集数据、整理数据、分析数据，进面根据数据预甜站论的规律性知识，这些知识是培养学生合情推理能力的重要载体，其中统计和概率两种推理形式得出结论的过现就是一种可能性推理，是一种合乎情理但不完全为真的推理，“统计与概率”的教育意义是；教会学生看问题不能绝对化，在思想上不能偏执一端，既认识到一种事物从总的方面来看有其一定的规律性，但是仍有个别案例的出现。

2、抓住合情推理能力发展的关键期

小学四、五年段是学生推理能力发展的关键期，教师要在这一时期着重在教学中培养学生的推理能力。小学四、五年级的内容安持处在一个交化时期，对数的认讯由整数扩展到分数、小数，烟算由整数的四别送算扩展到小数的四财运算；图形的认讯由平面到立体；统计的数据由前单到复杂。而这些内容的学习，无疑都需要逻辑推理能力作支撑这一阶段的教学，教师要有意识地为学生提供自主探索、合作交流的时间和空间；要设计现实的、有意义的、富有推规性的问趣，引导学生参与过程，要恰当地组识、指导学生的学习活动的推理能力。，并真正鼓励学生由主探究。这样，就能拓宽学生推理能力的发展空间，从而有效地发展学生。

（二）注重培养学生的类比推理能力

小学数学常见的类比形式主要有性质、法则、定律的类比，几何图形结构的类比，数和形的类比，解题方法的类比等，教师可结合这些类比形式帮助学生构建知识结构和体系。

1、性质、法则、定律的类比

小学数学中有许多内容的性质，法则、定律是很相似的，在学习这些内容时，教师应注重它们之间的联系，引导学生应用类比推理的方法来学习这些内容。如计算法则中的小数加减法与整费加减法，小数乘法与整数乘法、同分母分数加度法与异分母分数加碱法等。还有许多运算定律之间也有十分密切的联系，比如，整数加减法运算律对小数、分数同样适用，加法结合律、交换律对于乘法也同样适用，教师一定要有大观念，使学生头脑中建立起新旧知识之间的密切联系。

2、几何图形结构的类比

几何图形之间也有许多相似之处，学生在学习新的几何图形时，可以与己学过的、熟悉的图形进行比较、类比，猜测新图形可能具有的性质、结构，建立起新旧图形间的联系。几何图形结构的类比主要有三种形式平面图形间的类比，立体图形间的类比，平面图形与立体图形的类比

3、数和形的类比

在教学中，有些比较抽象、难理解的内容可以和面观、形象、易于理解的图形之间进行类比，两者之间可以互相解释，加深学生对这些内容的理解。

4、解题方法的类比

教师在教学中应注重对解照方法相似的题目的数量关系进行梳理和类比，使学生弄清它们之间的联系，加深对解题方法的理解。例如，相遇问题和工程问题的解题方法十分相似，可对这两类问题进行类比。

（三）重视培养学生代数推理能力

a=b, b=c则a=c

a=b, 则a+c=b+c, ac=bc

（四）加强推理实践活动。

橡皮筋的弹性

六面体着色问题