用魔法打败魔法

metoo

现在的校外辅导中，制造家长/学生焦虑是教培机构常用的方法。例如他们会拿以往的数学竞赛题变着花样地编入教培课程中，通过增加解题难度制造焦虑，让一些学生特别是家长，越来越依赖课外校外辅导。

我们来看这样一道小学数学竞赛题：

在图中七个小圆圈中各填入一个自然数，同时满足以下要求：

（1）使所填的七个自然数的和是1997；

（2）使图中给的每个数都是相邻两个○中所填数的差。

这道题，出题和解题是不对等的：出题只需要找出1到7加减等于0的一种方式就可以凑出七个得数的答案，而解题却要至少找出1到7加减等于0的七种方式才能求出答案。也就是说，解题时不仅要找到正确的解法，还需要付出七倍于出题的计算量。

出题方的标准答案是：因为A+1-2+3+4-5+6-7＝A，

这样七个数分别为A，A+1，A+1-2＝A-1，A+1-2+3＝A+2，A+6，A+1，A+7，则：

7A+16＝1997

从上面这个答案里看不出解题逻辑，答案是凑出来的；出题凑数很容易，解题就难了。换一个七数之和，你用答案中的方法就求不出七个数各自的值。

有教培机构把本题的七个圆圈增加到11个圆圈11个数拿出来唬人，答案也是给出一组凑出来的数，不讲基本的解题方法。

让我们用魔法打败魔法，远离焦虑。

首先我们将视野从七个圆圈构成的题扩展到任意个数的圆圈构成的题，看看能得出什么结论。

问题一：将n个圆圈连成串，组成首尾相接的闭环。然后在圆圈内填入自然数，使相邻两个圆圈内的数字之差（大数减小数）依次从1递增到n，即：所有的数字差构成1到n的连续自然数。满足以上条件，n应为何数？

解答

根据已知条件，相邻圆圈中的两数之差也是n个，其中前n-1个相邻的后数减前数之差（既有正数也有负数）加在一起等于n或-n，相当于在下面等式等号左边的数字前加上正号或负号，若等式成立，即表明本题有解。

1 2 3 4……n-3 n-2 n-1=±n (1)

像(1)式这种连续自然数加减的等式是否成立，要看其中的奇偶关系。

(1)式等式左边1到n-1的连续自然数之和可表示为：n(n-1)/2 (2)

n(n-1)/2的值必须能被分成相减等于n的两部分。当n是偶数时，n(n-1)/2也必须是偶数，因为偶数分成的两部分数值，要么同为偶数，要么同为奇数，两部分相减之差都还是偶数。令n=4m (m=1,2,3,4……)，代入(2)式即得到偶数值2m(4m-1)。

当n是奇数时，n(n-1)/2也必须是奇数，因为奇数分成两部分数字的和，一部分是奇数，另一部分必为偶数，如此相减的差也是奇数。令n=4m-1 (m=1,2,3,4……)，代入(2)式即得到奇数值(4m-1)(2m-1)。

如此，n的取值范围包括n=4m和n=4m-1 (m=1,2,3,4……)；

即n=3,4,7,8,11,12,15,16,19,20……

知道了n的取值范围，出题人就可以随意出题了，比如将圆圈数增加到20个，随便给出20个数的和，30000或40000，让相邻两数之差构成1到20的连续自然数，题就出好了。即使他不会解题，但他只须知道在20个圆圈里填数字有解就够了。

接下来，我们解析此类题的解题全过程，特别是对大量的计算作了简化，使解题变得容易。

问题二： 在n个圆圈内填入n个数字，已知n个数字之和，且相邻圆圈内两数之差按顺序分别是1、2、3、4、5……直到n，构成1到n的连续自然数，要求在圆圈内填入符合条件的数字。请说明此类题的解法。

解答

此类题，只要能使前面的(1)式：1 2 3 4……n-3 n-2 n-1=±n经过添加正负号后成立，就有解。为此，先建立一个方程，设圆圈内数字个数为n，第一个数为x，其余n-1个数大于或小于x的那部分数值加在一起为y，n个数之和为p，则有：

nx+y=p (3)

上式中的未知数是x和y。由于nx=p-y，则只要p与y除以n余数相同，p-y就能被n整除，x就有整数解。

于是问题又转化成，在(1)式中添加正负号后，得到的与p除以n余数相同的y值是多少？

现在我们以n等于11为例，有11x+y=p

代入(1)式：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10=±11 (4)

1-10连续自然数之和：(1+10)10/2=55

55分成和为33和22的两部分数字组合，因这两部分相减等于±11，只要使(4)式中这两部分数字的正负符号相反，(4)式即成立。

(4)式等号左边10个数是差值，需要转换成位置值才能得到y值。我们用差值为正值举例：10个数中，第一个差值是+1，它的位置值也是1。第二个差值是+2，2加上前面的位置值1，它的位置值是3。3加上后面的差值+3，第三个位置值是6，……。这样计算出来的10个位置值之和就是y值。

为使y值的计算容易，我们先计算出等式左边全部10个差值均为正值时10个位置值之和：

1×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×1=220。由于存在成对相同的数值关系，上式可简化为：

(1×10+2×9+3×8+4×7+5×6)2=220

下面算式中括号外的乘2亦是同理。

以下是(4)式中和为22的不同数字组合在相应位置的数值之和、相应的y值及相应(4)式的符号添加方式：

A1: (1×10+2×9)2=56

y值：220-56×2=108 余9

(4)式：-1-2+3+4+5+6+7+8-9-10

A2: 将上面A1(4)式中10数正负符号取反，y值由正值变成负值。

y值：-108 余2

(4)式：1+2-3-4-5-6-7-8+9+10

以下A4、A6、A8、A10也同样对其前一组合(4)式中的正负号取反，同时y值也变为负值。

A3: (2×9+3×8)2=84

y值：220-84×2=52 余8

(4)式：1-2-3+4+5+6+7-8-9+10

A4: y=-52 余3

A5: (1×10+3×8)2=68

y值：220-68×2=84 余7

(4)式：-1+2-3+4+5+6+7-8+9-10

A6: y=-84 余4

A7: (1×10+5×6)2=80

y值：220-80×2=60 余5

(4)式：-1+2+3+4-5-6+7+8+9-10

A8: y=-60 余6

A9: (3×8+4×7)2=104

y值：220-208=12 余1

(4)式：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10

A10: y=-12 余10

A11: 1×10+3×8+4×7+5×6+9×2=110

y值：220-110×2=0 余0

(4)式：-1+2-3-4-5+6+7+8-9+10

以上给出了除以11余数从0到10的11个y值。解题时，按照已知数p除以11的余数，对号入座找到余数相同的y值，即可求出第一个数x，再按照相邻数的差值依次求出后10个数。

举例：已知数p可以是任意整数，今令p=2025，代入(3)式：

11x+y=2025 (5)

2025除以11余1，查得A9式中余1的y值是12，代入(5)式，解得x=183

余1的(4)式符号添加方式为：

1+2-3-4+5+6-7-8+9+10

从第一个数字183开始，按照上式依次加/减，得到后10个数：

183+184+186+183+179+184+190+183+175+184+194

(此处数字间用加号隔开，只是为验算方便。)

n为11的(4)式正负符号添加方式有32种，这里给出的11种方式已满足n为11时此类题通解的需要，即：无论p为何数，都可以找到相对应的y值求出x和另外10个数。

当n为其它自然数时，求解方法相同，也是要先找到与n个数字之和除以n相同余数的y值。若n值过大，单靠人力计算难以完成。

11个圆圈围成的圆环

魔法学校的学生们