初中数学五日一题(4)(31--40)解法与解析集锦

海阔天空

文字:海阔天空

题目:主要源于绩优学派同步练习册和寒假作业与生活

我的两个初衷

自从2024年9月1日开学起，九年制义务教育阶段的一、七年级同时开始使用新教材。我的大孙女也正好进入七年级，这让我毫无疑问的在关注着她的学习动向，特别是数学这一学科。

本级学生数学科统一使用的是名为绩优学案的同步练习册，这应该是小学阶段的学习与评价改了个名称。虽然我没有也没必要给她经常性的辅导，但我始终会一如既往的坚持一个做法，就是我手头同时具有跟她同步的教材和同步练习册，而且在一题不漏和不厌其烦的过目、钻研、理解。如果她随时需要，我一定会让她满意，这就是我的第一初衷。

我有一个深刻的感觉，现在七年级的同步练习册上有相当数量的题目从难度和跨度上都不亚于十年前八、九年级的题目。我虽为一名退休数学教师，但这好多题目都让我完全是一种新的感觉，更需有新的认知。幸亏本人酷爱数学，否则这个做法难以坚持下去。

数学同步练习册上有一些题目很有趣味性和代表性，但资料上提供的答案往往是避重就轻，只有结果而没有过程或是解析过程过于简略。有些题目很有必要深钻细研、深刻挖掘，但有时通过网上查询总难让人感到满意，所以有的题目会让我通过多时甚至数日才能琢磨到毫不含糊的程度。这正是我分享“五日一题解法与解析集锦”的主要原由。

借用网络与人为善，为本级优秀学子们突破高难度题目寻求正确解题思路提供参考和借鉴，这是我的第二初衷。如果不出意外，我的这个做法会一直坚持到本级学生初中毕业。本人做为一名退休教师，若能对任何学子有一丝帮助，那将是我晚年生活的最大欣慰。

两点说明

1.本五日一题集锦题目主要来源于❶绩优学案中能力提升题、素养拓展题栏目；❷教材中单元习题和复习题中问题解决、联系拓广等栏目；❸各单元测评卷中个别精选题目；❹寒暑假作业中让我留有标记的题目；❺我孙女测试卷上出现过被我看中的题目。

2.我对选入的题目原则上保证题意分析、详解过程、解后反思这三步走，但个别题目例外，要么只有题意分析，要么只有解答过程，要么答案就在题意分析中，题意分析中重在谈讨问题的转化方法和途径，探究难点突破的巧思妙想。解后反思既是对题意分析的补充，又是自我感悟的分享。

2025年2月20日题

31.某同学在计算3(4+1)(4²+1)时，把3写成4-1后，发现可以连续运用平方差公式计算:

3(4+1)(4²+1)

=(4-1)(4+1)(4²+1)

=(4²-1)(4²+1)=16²-1

请你借鉴该同学的经验，计算下式:(七年级第二学期“绩优学案第一章整式的乘法.3.乘法公式.第2课时“平方差公式⑵课后巩固p21页素养拓展10(2)题)

题意分析:

1.利用乘法公式可把整式乘法问题简单化。

2.本题是利用平方差公式进行貌似不符合平方差公式的整式乘法问题的。

3.本题开头的1+½，如果在它前面有一个1-½问题就好解决了，而1-½=½，到原来1+½前面应该是1，所以可给1-½前乘以2就能还原到原来的1。

4.有了这样的思考问题就能突破了。

详解过程:

解后反思:

1.本题通过前面的技术处理，便可以一次再次的应用平方差公式的应用和变形，达到化难为简的目的。

2.最后一步变形的根据是“同底数幂相除底数不变指数相减”。(七年级第二学期“绩优学案第一章整式的乘法.3.乘法公式.第3课时“完事没平方公式⑴课后巩固p24页能力提升9题⑶)

2025年2月25日题

32.多项式16X²+1加上一个单项式后，能成为一个完全平方式，那么加上的单项式应该是哪些？(直接写出所有可能的情况)

(七年级第二学期“绩优学案第一章整式的乘法.3.乘法公式.第3课时“完全平方公式⑵课后巩固p24页能力提升9题⑶)

题意分析及解答:

1.完全平方公式的展开式是一个三项式，第一项为第一数的平方，第三项为第二数的平方，第二项为加上或减去第一数和第二数的积的2倍。

2.只要抓住这三项的特点，总可由任意两项写出另一项。16X²可看作4X的平方，1可以看作1的平方，那么第二项应为+2×4Xx1=8X或-2×4X×1=-8X

解后反思:

1.利用完全平方公式中三项之间关系可以得到各种情况的计算题目，但只要掌握了它们的特点，一切有关怎题都能得心应手的解决。

2.比如二项式4X²+8X若要成为完全平方式，那么还有一项总可由2×2X×？=8X解除 ？=2，则第三项应为2²=4。

2025年2月30题

33.若X-y=2，X²+y²=4，则X²⁰²⁰+y²⁰²⁰的值是( C )

A.4 B.2020² C.2²⁰²⁰ D.4²⁰²⁰

题意分析:

1.在学习了完全平方公式后，必须清楚在a+b,a-b,ab,a²+b²这四个量中，已知任意两个，都可以运用完全平方公式求解其余两个。

2.本题中可以很快求出X+y和Xy的值再继续进行。

详解过程:

解:由X-y=2可得X²-2Xy+y²=4

将X²+y²=4 代入上式得-2Xy=0

则Xy=0 即X=0或y=0 再由X-y=2得X=0时 y=-2，y=0时 X=2把这两组值分别代入原题X²⁰²⁰+y²⁰²⁰中，均有同一结果，原式=2²⁰²⁰。故应为选项C。

解后反思:

1.通过本题可知，完全平方式把a+b,a-b,ab,a²+b²完全联系起来了。

2.所以只要由原题中X-y=2和X²+y²=4求出Xy=0，进而求出X和y的两对对应值，问题迎刃而解。

2025年3月5日题

34.(七年级下学期“绩优学案第一章整式的乘法.4整式的除法.专题一“乘法公式的灵活运用”p31页2题)

题意分析:

1.本题是对平方差公式的灵活应用，题目特点是:❶具有多个平方差的乘积；❷平方差的前项均为1；❸平方差的后项为从2开头连续自然数的平方的到数。

2.乘积个数多到要用省略号的地步。

3.本题可以按部就班的按“两数平方差等于两数差乘两数合”依次展开，并继续使用省略号。

4.由展开式在进行一步整数和分数的加减变形。

5.由观察数据特点可见:这个乘积式中第2和3、第4和5、第6和7……均互为倒数直至倒数第1个分数前为止。

6.由此可见，除了这个乘积式首尾两个因外，其它具有若干个1相乘，“因为互为倒数的两数之积为1”。

7.所以本题结果为首尾两个因数的积。

详解过程:

解后反思:

1.本题代表同一类题目的完整解法和思路，只需不慌不忙的按部就班认真完成这一道题就足够了。

2.要充分发挥心理想像的作用，5/4是和后面被省掉的一个因数互为倒数，2014/2015和前面被省掉的一个因数互为倒数。

2025年3月10日题

35.已知(a+b)²=7，(a-b)²=3，求a²+b²的值；(七年级下学期“绩优学案第一章整式的乘法.4整式的除法.专题一“乘法公式的灵活运用”p31页4题⑵)

题意分析:

1.本题需要把(a+b)²=7或(a-b)²=3中的完全平方先展开，再看a²+b²=？

2.但无论把哪个变形都需用到ab=？

3.所以必须要用到(a+b)²-(a-b)²=4ab，这是完全平方式中一个重要的结论，应牢记。

详解过程:

解:由(a+b)²-(a-b)²=4ab得

7-3=4ab，则ab=1

所以a²+b²=(a+b)²-2ab

=7-2×1=5

解后反思:

1.在a+b, a-b, ab, a²+b²中，由任意两个结论都可求出其它两个结论。

2.按照排列组合的思想共有6种可能的条件，可求出相应的结论，这是一个基本功应具备。

2025年3月15日题

36.(七年级下学期“绩优学案第二章相交线与平行线.1.两条直线的位置关系.第2课时垂直能力提升题p38页7题)

题意分析:

1.本题已涉及到利用垂直定义进行互逆推理，它跟前面的线段中点定义、角平分线定义的推理方式完全一样。

2.本题第⑵问给了两个角的⅓关系，由这样的关系可直接得到一个½关系，其实有时候根据需要也可得到其它的倍或分的关系。

3.线段中点定义，角平分线定义，垂直定义等都可以进行正、反两个方面的推理。

4.学习和了解一条这样的定义就等于你又掌握了一种推理的依据。

5.要用推理的方法说明一个结论的正确性，必须用所学推理依据进行严格的推理过程。

6.推理的过程可分逆推和顺推两种方式，逆推用于寻找解题思路，顺推用于书写解题过程。

7.逆推过程可在心里完成，只把顺推过程完整写出，但部骤繁多时也可把它先书写在稿纸上，然后严格把逆推改写为顺推。

详解过程:

1.详解过程既可用“∵”到“∴”过程来完成一部又一部的推理，也可使用推出符合直接用推出法完成。但推出法对推理的并列关系和从属关系要求更高一些。

2.初学者可以把两种方法都尝试一番，如果你一旦钻进去，你会觉得几何比代数更简单，更有趣。

解后反思:

1.本题所涉及的推理过程并不复杂，主要是用“等量代换”把问题进行转化的。在逆推过程中，只要能找到一个与问题密切相关的等量，问题就可以转化一次。

2.当问题转化到能直接用已知条件和已掌握的推理根据时问题就迎刃而解了。

3.本题中已知条件对于第⑴问是OM⊥AB和∠1=∠2。对于第⑵问是OM⊥AB和∠1=⅓∠BOC.

2025年3月20日题

37.如图2-2-1-8，直线AB,CD被直线EF所截，∠1+∠2=180，AB与CD平行吗？为什么？(七年级下学期“绩优学案第二章相交线与平行线.2.探索直线平行的条件.第1课时.探索直线平行的条件⑴.课后巩固基础过关题p40页7题)

题意分析:

1.本题是探索两直线平行线的条件，到目前为止要得到两直线平行，一般是用角的关系直接推出。

2.若要直线AB∥CD，要么同位角相等，要么内错角相等，要么同旁内角互补，均可推出 AB∥CD。

3.原题中有∠1+∠2=180⁰，但∠1和∠2并不是同旁内角，所以并不能推出AB∥CD，这就需要把问题进行转化。

4.按照目前图中所标注的三个角，∠2和∠3是同位角，只要能得到∠2=∠3，问题就解决了。

5.这个推理过程如果用逆推法完成如下图所示:

解答过程如下:

解:答AB与CD平行。

∵∠1+∠2=180⁰(已知)

∠1+∠3=180⁰(平角定义)

∴∠2=∠3(等量减等量差相等)∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)

解后反思:

1.本题是非常简单和最基础的推理过程。本题中所需要的是∠2=∠3，但∠1+∠2=180⁰及∠1+∠3=180⁰，发挥了介绍人的作用，通过它们把∠2与∠3的关系沟通了。

2.后面我们每学习的一个有关定义或叫公理或叫定理，都在未来将要学习的“证明题”中发挥介绍人的作用。

3.本题中，严格的说只有两步推理过程。对于∠2=∠3来说，它是第一步推理的结论，同时又是第二步推理的条件。

4.本题也可把∠2的对顶角标注出来，利用同旁内角互补推出两直线平行，这样做的目的是让“对顶角相等”发挥介绍人的作用先推出所需的两同旁内角的互补关系，再推出AB∥CD

2025年3月25日题

38.如图2-2-2-12，已知FG⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为G,D,∠1=∠2。试说明DE∥BC。(七年级下学期“绩优学案第二章相交线与平行线.2.探索直线平行的条件.第2课时.探索直线平行的条件⑵.课后巩固能力提升题p44页8题)

题意分析:

1.本题中能够用于推理的条件有3个，其它文字均属附助性的，可以帮助我们理解题意，而不能用于推理。

2.本题可由下面逆推思路:❶要有DE∥BC可由∠1=∠3推出，❷要有∠1=∠3可由∠1=∠2且∠3=∠2并列推出，❸因∠1=∠2已知，故要∠3=∠2可由FG∥CD推出，❹要FG∥CD可由∠4=∠5推出，❺要∠4=∠5可由FG⊥AB且CD⊥AB并列推出。逆推过程见下图:

3.由上图中逆推过程可以看出共有5个推出符号，这说明这个题目中要得到DE∥BC，从已知条件出发，要进行5次推理。

详解过程:

1.本类题目既可用“∵”到“∴”的推理方式，也可直接使用推出符号进行。

2.无论哪种方法都应该是在用逆推寻求解题思路的前提下进行的。

3.本题用推出法进行。

解后反思:

1.本题中∠1和∠2是原图中标注的，而∠3、∠4、∠5是在逆推过程中根据需要标注的，在推理过程中都起到了沟通要得到的结论和已知条件之间关系的作用，即介绍人的作用。

2.逆推过程可以在稿纸上完成，但可调整稿纸的长、宽位置，不用倒拐的一直进行完毕。

3.顺推过程要受卷面或作业本版面限制需倒拐和转向，并且还需适当调整逆推中的个别顺序，这就是逆推和顺推的区别。

4.推出法比用“∵”、“∴”严密性更强，要求更高，但不能注明推理根据。

5.本题中要得到FG∥CD时，也可直接由FG⊥AB且CD⊥AB并列推出，把5次推理变为4次推理。因为后面将会学到“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”。

2025年3月30日题

39.如图2-3-1-10,已知∠1=∠2，DF∥AC，∠C与∠D相等吗？为什么？(七年级下学期“绩优学案第二章相交线与平行线.3.平行线的性质.第1课时.平行线的性质.课后巩固基础过关题p46页7题)

题意分析:

1.本题既涉及了平行线的判定又涉及到平行线的性质互逆的两种推理，是证明 题的开始。也是培养兴趣和探索正确推理思路的最佳时刻。

2.本题逆推分析如下:❶要使∠C=∠D可由∠D=∠4且∠C=4并列推出，❷要使∠D=∠4可由已知的DF∥AC推出，❸要使∠C=∠4可由DB∥CE推出，❹要使DE∥CE可由∠2=∠3推出，❺要使∠2=∠3可由已知的∠1=∠2且对顶角∠3=∠1并列推出。

3.上述题意分析过程若用推出符号采用逆推既简单又醒目。见下图所示:

详解过程:

❶用∵和∴的方式推理说明:

❷用推出法推理说明:

解后反思:

1.从两种推理版面上看，推出法更直观，简单，从属关系和并列关系清晰醒目，就是不便加注推理根据。

2.用∵ 到∴的推理方式比较繁琐，但能加注推理根据。

3.如果采用的是推出法，应对每个推出符号前后的推理应琢磨一下是哪天根据。

4.本题如果不标注上∠4就不能把要得到的结论和已知条件联系起来。

2025年4月5日题

40.如图2-3-2-11，已知CD⊥AB,垂足为D,DE∥AC交BC于点E,EF⊥AB,垂足为F,DG∥BC交AC于G,且∠DEF=∠BEF,试说明∠GDC=∠GCD。(七年级下学期“绩优学案第二章相交线与平行线.3.平行线的性质.第2课时.平行线的性质与判定的综合应用.课后巩固能力提升题p50页9题)

题意分析:

1.本题的已知条件中，有三组两直线平行，其中两组已知、一组易知(可由两个垂直推出来)。给了两角相等，要说明另一组角也相等。

2.本题有7次推理，如果一一叙述出太过繁琐，故用逆推法进行题意分析如下:

详解过程:

解后反思:

1.本题中要说明的两角相等和已知的两角相等都是用三个字母表示的，为了方便和直观我们都可用标注上数字来表示的。

2.本题最显著特点是多次用“等量代换”把问题进行转化。

3.本题中要得到∠2=∠5是用两个平行直接推出了。根据是“如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那个这两个角相等”。

初中数学五日一题⑷(31--40)解法与解析集锦到此结束，后续初中数学五日一题(5)(41--50)将另文发表，欢迎光临和关注！

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