三角函数的定义

阿达

三角函数的图像的生成是本节课的重点，利用GGB信息技术展示三角函数图像的生成过程，让学生有直观性，加深对三角函数图像的理解

　　三角函数定义公开课教. 教学目标

1. 理解正弦、余弦、正切在直角三角形中的定义。

2. 掌握单位圆上的三角函数定义，理解任意角的三角函数。

3. 能运用两种定义解决实际问题，并明确其联系与区别。

--教学流1. 引入（5分钟）**

- **实际问题**：如何测量旗杆高度？引出直角三角形的应用。

- **提问**：若已知角度和一条边，能否求出其他边？

**2. 直角三角形中的定义（15分钟）**

- **画图**：标出直角三角形各边（对边、邻边、斜边）及角θ。

- **定义式**：

- \(\sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}\)

- \(\cos\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}\)

- \(\tan\theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}\)

- **记忆口诀**：SOH-CAH-TOA（“对比斜、邻比斜、对比邻”）。

- **例题**：已知邻边3，斜边5，求各三角函数值（答案：\(\sin\theta=4/5, \cos\theta=3/5, \tan\theta=4/3\)）。

**3. 单位圆定义（20分钟）**

- **画单位圆**：半径为1，中心在原点，角度θ从x轴正半轴开始。

- **定义式**：

- 终边交点为\((\cos\theta, \sin\theta)\)

- \(\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)（当\(\cos\theta \neq 0\)）

- **象限符号**：

- 第一象限：全正；第二象限：sin正；

- 第三象限：tan正；第四象限：cos正。

- **特殊角**：

- \(0^\circ\)：\((\cos0^\circ, \sin0^\circ)=(1,0)\)

- \(90^\circ\)：\((0,1)\)（\(\tan90^\circ\)无定义）

**4. 联系两种定义（5分钟）**

- **锐角一致性**：当θ为锐角时，单位圆中\(\cos\theta\)和\(\sin\theta\)对应直角三角形的邻边和对边（斜边=1）。

- **例题验证**：θ=30°，单位圆坐标\((\sqrt{3}/2, 1/2)\)，与直角三角形比例一致。

**5. 应用举例（10分钟）**

- **测量问题**：已知山坡坡度（tanθ=1/5），求角度θ（用计算器求反正切）。

- **符号判断**：若θ在第三象限，\(\sin\theta\)和\(\cos\theta\)均为负。

**6. 总结与提问（5分钟）**

- **关键点**：两种定义的联系（锐角一致）与区别（单位圆适用于任意角）。

- **作业**：计算120°、225°的三角函数值，并判断符号。

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#### **板书设计**

- **左侧**：直角三角形图示与定义式。

- **右侧**：单位圆图示与坐标定义。

- **中部**：象限符号表格与特殊角值。

- **下方**：例题解答步骤。

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#### **教学工具**

- 三角板、圆规绘制图形。

- 动态课件展示角度变化（可选）。

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通过逐步引导，学生将掌握三角函数的双重定义，理解其几何本质，并能够灵活运用于不同情境。

高一4班

评课环节