基本不等式

阿达

2.2　基本不等式

第一课时　基本不等式

课标要求　1.掌握基本不等式≤2(a＋b)(a>0，b>0).

2.能利用基本不等式求简单的最值问题.

【引入】有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售.你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？要解决这个问题，我们一起探究一下吧！

一、基本不等式

探究1 重要不等式：a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.当a>0，b>0时，用，分别代替重要不等式中的a，b可以得到什么样的结论？该结论中等号成立的条件是什么？

提示　a＋b≥2，当且仅当a＝b时，“＝”成立.

探究2 你能证明上述探究1中得到的结论吗？

提示　法一(作差法)

2(a＋b)－＝2(ab)＝2(b）2)＝2(b）2)≥0，

即2(a＋b)≥，当且仅当a＝b时，等号成立.

法二(性质法)

要证≤2(a＋b)，

只需证2≤a＋b，

只需证2－a－b≤0，

只需证－(－)2≤0，

显然(－)2≥0成立，当且仅当a＝b时，等号成立.

探究3 结合课本P45中的探究，你能否给出2(a＋b)≥的一种几何解释？

提示　如图AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD＝.由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为≤2(a＋b).

[图片]

因此，基本不等式≤2(a＋b)的几何意义是“圆的半径不小于半弦”.

【知识梳理】

1.基本不等式：如果a>0，b>0，则≤2(a＋b)，当且仅当a＝b时，等号成立.

2.其中2(a＋b)叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

温馨提示　(1)“当且仅当”的含义：①当a＝b时取等号，即a＝b2(a＋b)＝；②仅当a＝b时取等号，即2(a＋b)＝a＝b.

(2)基本不等式的常见变形：①a＋b≥2；

②ab≤2(a＋b)≤2(a2＋b2).

例1 (1)设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　)

A.a<b<<2(a＋b) B.a<<2(a＋b)<b

C.a<<b<2(a＋b) D.<a<2(a＋b)<b

(2)若实数a，b满足0<a<b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是(　　)

A.2(1) B.a2＋b2

C.2ab D.a

答案　(1)B　(2)B

解析　(1)法一　∵0<a<b，∴a<2(a＋b)<b，排除A，C两项.

又－a＝(－)>0，即>a，排除D项.

法二　取a＝2，b＝8，则＝4，2(a＋b)＝5，

所以a<<2(a＋b)<b.

(2)由题设知0<a<b，且a＋b＝1，

所以0<a<2(1)，2(1)<b<1，排除D.

又2(a2＋b2)>2(a＋b)＝4(1)，故a2＋b2>2(1)，知排除A.

由a2＋b2>2ab，所以a2＋b2最大.

思维升华　利用基本不等式比较实数大小的注意事项

(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积).

(2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.

训练1 (多选)若a>b>0，则下列不等式成立的是(　　)

A.2(a＋b)> B.a＋b(2ab)<2(a＋b)

C.a＋b(2ab)>2(a＋b) D.>a＋b(2ab)

答案　ABD

解析　由a>b>0，得<2(a＋b)，即2(a＋b)>，

所以a＋b(ab)<1，即a＋b(2ab)<，

故选项ABD均成立.

二、基本不等式与最值定理