正弦函数图像 李萌

阿达

5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象

课标要求　1.了解用单位圆作正弦函数图象的方法.

2.理解y＝sin x与y＝cos x图象之间的关系，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦函数的图象.

3.会利用正弦(余弦)函数的图象解决简单的问题.

【引入】如图，将一个漏斗挂在架子上，做一个简易的单摆，在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，这就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.你能描述一下该类曲线的特征吗？

[图片]

一、正弦函数、余弦函数的图象

探究1 绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在[0，2π]上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0，并画出点T(x0，sin x0)?

提示　如图，在[0，2π]上任取一个值x0，根据正弦函数的定义可知y0＝sin x0，此时弧AB的长度为x0，结合之前每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点T(x0，sin x0).

[图片]

探究2 根据函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，你能想象y＝sin x，x∈R的图象吗？

提示　根据诱导公式一，把x∈[0，2π]的图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)，得y＝sin x，x∈R的图象.

【知识梳理】

1.正弦函数的图象

(1)正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.

[图片]

(2)在精确度要求不高时，作y＝sin x，x∈[0，2π]的图象常常先找出五个关键点(0，0)，，1(π)，(π，0)，，－1(3π)，(2π，0)，再用光滑的曲线将它们连接起来.

2.余弦函数的图象

(1)余弦函数的图象叫做余弦曲线，是“波浪起伏”的连续光滑曲线.

[图片]

(2)确定余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]图象的五个关键点是(0，1)，，0(π)，(π，－1)，π，0(3)，(2π，1).

温馨提示　(1)将y＝sin x，x∈R的图象向左平移2(π)个单位长度得y＝cos x，x∈R的图象，因此y＝sin x，x∈R与y＝cos x，x∈R的图象形状相同，只是在直角坐标系中的位置不同.

(2)“五点法”只是画出y＝sin x和y＝cos x在[0，2π]上的图象.若x∈R，可先作出正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的图象，然后通过不断向左、右平移可得到y＝sin x，x∈R和y＝cos x，x∈R的图象.

例1 (1)(多选)对于余弦函数y＝cos x的图象有以下描述，其中正确的描述有(　　)

A.将[0，2π]内的图象向左、向右不断平移2π个单位得到y＝cos x的图象

B.与y＝sin x图象完全相同

C.与y轴只有一个交点

D.关于x轴对称

答案　AC

解析　根据余弦函数的图象可以判断A，C正确，B，D错误.

(2)已知函数f(x)＝sin x，x∈[－2π，2π]的图象如图所示，

[图片]

点A的坐标为______；点E的坐标为______；|BD|＝________；|BE|＝________.

答案　(－2π，0)　π，－1(3)　2π　

解析　由y＝sin x，x∈[－2π，2π]的图象知点

A(－2π，0)，点Eπ，－1(3)，|BD|＝2π.

|BE|＝＝.

思维升华　1.要熟练正弦、余弦函数图象特征，正弦曲线、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到.

2.知道正弦曲线、余弦曲线在x∈[－2π，2π]内特殊点(最高、最低点及与x轴的交点)的坐标，会求特殊点之间的横向距离.

训练1 (多选)下列说法正确的是(　　)

A.作正弦函数的图象时，单位圆的半径长与y轴的单位长度要一致

B.y＝sin x，x∈[0，2π]的图象关于点P(π，0)对称

C.y＝cos x，x∈[0，2π]的图象关于直线x＝π不对称

D.正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围

答案　ABD

解析　分别画出函数y＝sin x，x∈[0，2π]和y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，由图象(略)观察知ABD正确，C不正确.

二、用“五点法”作三角函数的图象

探究3 如何画函数y＝sin x，x∈[0，2π]的简图？

提示　根据前面的探究，我们发现，只需抓住函数图象上的几个关键点，然后用圆滑的曲线连接即可.今后在精确度要求不高时，常常先找出五个关键点(0，0)，，1(π)，(π，0)，，－1(3π)，(2π，0).

例2 (链接教材P199例1)用“五点法”作出函数y＝1－3(1)cos x的简图.

解　(1)取值列表

x 0 2(π) π 2(3π) 2π

cos x 1 0 －1 0 1

1－3(1)cos x 3(2) 1 3(4) 1 3(2)

(2)描点，连线可得函数在[0，2π]上的图象.

(3)将函数图象向左、向右平移(每次2π个单位长度)，就可以得到函数y＝1－3(1)cos x的图象，如图所示.

[图片]

思维升华　“五点法”作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0，2π]的图象的步骤：

[图片]

利用GGB软件显示图像的生成过程