三角形的中位线教学设计

王奎

三角形的中位线

教学目标：

理解三角形中位线的定义，能辨析三角形中位线与中线的异同，掌握三角形的中位线定理及其应用，能够应用三角形的中位线定理进行有关的计算和证明，逐步提高学生分析问题和解决问题的能力。

经历三角形中位线定理探索的过程中的由特殊到一般的推广过程，通过观察、测量、推广过程获得猜想，并进一步验证猜想，发展学生的合情推理能力和逻辑演绎能力。

在探索和证明的过程中，提高自主探究、合作交流的能力，培养学生的探索意识和求知欲。

教学设计：

情景导入：

我们对三角形做过哪些方面的探究学习？

生：我们学习了三角形的定义，表示及六个元素：三个内角，三条边。

生;三角形中的相关元素：中线、高、角平分线，外角等。

生：三角形之间的关系：全等和相似。

对于任意三角形它的边和角满足什么特征呢？边满足任意两边之和大于第三边，角研究过内角和180度，外角和360度。这是对所有三角形都成立的边角性质。那么我们研究一个几何图形都是按照从一般到特殊的路径来研究的，对于三角形也一样，例如比较特殊的等腰三角形和直角三角形，我们都是按照从定义、性质、判定、再到应用的路径展开探究的，对于等腰三角形我们学习了两条性质：1.等边对等角，2.三线合一。而三线合一恰恰反映的是在三角形中相关元素所具备的性质。其实在直角三角形中有边的关系勾股定理，角的关系两锐角互余。在后面的学习中我们也将学习它相关元素，即在直角三角形中斜边上的中线与斜边长存在着一定的数量关系，这也是三角形中相关元素的性质。今天老师将带领大家继续探究学习三角形中一个新的非常重要的相关元素。板书课题：三角形的中位线。

定义之旅：

幻灯片出示定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。定义的核心是1.线段。2.端点为三角形两边的中点。

1.请你画一个三角形并画出它的中位线。大家都能画出三角形的中位线。

2.任何一个定义既是性质又是判定。你能结合图形写出定义作为判定和作为性质的数学语言吗？

3.三角形的中位线和中线一字之差，你能说出他们的区别和联系吗？

三.性质探索：

研究几何图形的性质就是研究该几何图形各元素之间的关系及相关元素之间的数量和位置关系。作为三角形的相关元素中位线它和其它要素之间又有怎样的数量和位置关系呢？请大家在自己的练习本上画一个三角形，并画出它的一条中位线大胆猜测。在△ABC中，AD=BD,AE=CE,你能发现中位线DE和其他那些要素存在数量和位置之间的关系吗？

猜一猜：(具体分析,因为中位线是线段和角之间很难有关系，和边之间呢，它的端点分别平分了两边，它和第三边呢，位置上的关系是什么？数量上呢？猜想和第三边平行且等于第三边的一半。）

量一量:

几何画板画一画：

要想说明命题的正确性仅有猜想，度量还是不够，还需用逻辑推理的方法证一证：

我们小组直观感知发现可能有A型相似模型，中位线所在的三角形和原三角形可能相似，进一步研究发现他们符合两边对应成比例比值均为1比2,且夹角相等得出相似，利用相似的性质得到对应角相等，即同位角相等得平行的位置关系同时得到中位线和第三边为对应边，他们的比等于相似比进而得到中位线等于第三边一半的数量关系。这一小组的分享非常准确精彩，请大家在练习本上完成这个命题的证明。通过证明我们验证了命题为真命题，那么这个命题就是三角形中位线的性质：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

方法2：

现在请大家拿出课前做的三角形卡纸，画出它的一条中位线，并拿剪刀沿着这条中位线剪开，将它无缝隙无重叠拼成一个平行四边形。

这位同学请你到黑板上给大家分享你的成果。我们沿着DE剪开后将三角形ADE绕点E顺时针旋转180度。此时因为点E为AC的中点，AE=CE,所以点A与点C重合，因为旋转180度DE与旋转后的DE在同一直线上，所以点D和旋转后的对应点在同一直线上。所以得到的四边形DBCD撇为四边形。因为旋转前后，对应边，所以内错角相等得到，因为D为AB中点得到AD=BD,所以，所以平行且相等。所以得到平行四边形。

通过这位同学的精彩分享，是否给我们证明三角形的中位线性质提供了新的思路。小组交流。

第三小组：这位同学构建平行四边形之后，利用平行四边形的性质得到平行且等于BC,而，进而发现中位线DE和边BC平行，且。所以我们证明的关键添加辅助线通过补短构建平行四边形。所以我们延长DE到F,使EF=DE.连结CF，通过已知的中点得AE=CE,用边角边证明全等。利用对应角相等得到内错角相等，同时对应边相等得到CF=AD，进而等于BD，所以得到BD与CF平行且相等，得到平行四边形，进而解决了问题。和刚才那位同学相比证明时减少了旋转后共线的证明。

第四小组：既然通过补短构建平行四边形就能解决，我们是这样做的。我们将DE向两边同时延长，在直线上找一点G，连结CG，过点B做BF平行于CG交直线DE于点F,但是我们证明平行四边形时虽然有的BF∥CG的条件，但还需BF=CG，证明相等当我们无从下手时，想到了中点的常用思路中点加平行构建X型全等。于是我们过点A也做了CG的平行线交DE于点H,于是通过角边角证明了两对X型全等，借助AH得到CG=BF,所以得到平行四边形。得到平行关系，利用对应边相等得到FD=DH,EH=GH,所以。我们让点G动起来，当点F与点D重合时就是刚才那位同学的证法。所以他的证法是我们的证明方法的一个特例。

老师来总结一下：他们的方法本质都是转化，都是通过补短构造平行四边形得到数量和位置关系。

方法3：其实证明线段的数量关系除了补短，截长也是常用的方法。关于截长的证明方法留给大家课后探究。

思维提升

利用中位线的性质，小组交流，看那组发现的结论最多？

三角形的一条中位线可以把三角形分成一个与原三角形相似的三角形和一个梯形，并且他们的面积比为1:3。

三条中位线把三角形分成四个全等的三角形。且四个三角形都与原三角形相似，相似比都为1:2；

可以拼成三个平行四边形，且这三个平行四边形有共同的三个顶点。

三角形的三个顶点到中位线所在的直线距离相等。

三角形的面积等于中位线长乘以第三边上的高。

三角形的一个顶点与第三边上任意一点所连的线段被中位线平分。

求证：三角形的一条中位线和第三边上的中线互相平分。

方法一：

方法二：

实践应用：

前面我们证明过三角形的中位线和第三边上的中线互相平分，那么一个三角形的两条相交的中线之间又有什么关系？

练习1.在△ABC中，AE=BE，BD=CD，AD与CE交于点G，求证：

小结提升：

中位线的定义和性质，为我们证明平行及线段的数量关系提供了新的方法。

见中点有以前的联想中线，联想等腰三角形的三线合一，，及见中点构造X型全等，以后再见中点可以联想中位线。

引导学生从知识、研究路径、思想方法三方面来谈一谈本节课的收获.

七：作业布置：

（必做题）1.已知不在同一直线上的三点A,B,C。请你找一点D，使A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形。

2.求证：顺次连结四边形各边中点得到的四边形是平行四边形。

（选做题） 3.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，E是AB的中点，延长AB到D，使BD=AB．

求证：CD=2CE． (多种方法)