微积分的通俗解读＆专业知识简述

帅青哥

微积分的通俗解读

微积分(Calculus)是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支.微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的.微积分最重要的思想就是用"微元”与”无限逼近"，好像一个事物始终在变化你不好研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行.微积分学是微分学和积分学的总称.它是一种数学思想，无限细分'就是微分，‘无限求和'就是积分.无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题.比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念.如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分.微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。



微积分专业知识（不定积分和定积分）

定积分和不定积分是微积分中的两个核心概念，它们在定义、符号、结果和应用上各有不同：

定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。



### 不定积分

- **定义**：不定积分是求一个函数的原函数（即导数的逆运算）。若 \( F'(x) = f(x) \)，则 \( F(x) + C \) 是 \( f(x) \) 的不定积分，其中 \( C \) 为任意常数。

- **符号**：表示为 \( \int f(x) \, dx \)。

- **结果**：结果为函数族（如 \( x^3/3 + C \)），表示所有可能的原函数。

- **几何意义**：一族曲线，彼此间通过垂直平移（由常数 \( C \) 体现）。



### 定积分

- **定义**：定积分计算函数在区间 \([a, b]\) 上的累积效应，通常理解为曲线下的“净面积”。通过黎曼和（分割区间、近似求和、取极限）定义。

- **符号**：表示为 \( \int_a^b f(x) \, dx \)。

- **结果**：一个具体数值（如 \( 1/3 \)）或关于积分限的函数（若上限/下限为变量）。

- **几何意义**：区间内函数图像与 \( x \)-轴围成的面积（正负相抵）。



### 联系与计算

- **牛顿-莱布尼兹公式**：若 \( F(x) \) 是 \( f(x) \) 的原函数，则 

\[

\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a).

\] 

这一公式将定积分转化为不定积分的计算。

- **变上限积分**：若上限为变量（如 \( \int_a^x f(t) \, dt \)），结果是一个原函数，无需常数 \( C \)。



### 应用

- **不定积分**：用于求解微分方程、反导数问题。

- **定积分**：计算面积、体积、物理量（如位移、功）。



### 示例

- **不定积分**： 

\[

\int 2x \, dx = x^2 + C.

\]

- **定积分**： 

\[

\int_0^1 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}.

\]



### 总结

- **不定积分**是求导的逆过程，结果为函数族；**定积分**是求数值或函数，通过原函数计算。

- 符号上，定积分有上下限，不定积分没有。

- 两者通过微积分基本定理关联，简化了定积分的计算。