概率学为你揭秘摸彩珠“骗局”

金鍂鑫𨰻

<p class="ql-block">我们经常在街边看到一些大爷摆摊，玩摸珠子的游戏。</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">游戏规则如下：</p><p class="ql-block">一共有3种颜色的珠子，每种颜色各有8颗，这些珠子除了颜色不同以外，其余都相同。将总共24颗珠子放进一个不透明的袋中，你从袋中任意摸出12颗珠子，根据摸出同一种颜色珠子的数量来兑奖。</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">具体兑奖如下：</p><p class="ql-block">①840：奖100元</p><p class="ql-block">②750：奖20元</p><p class="ql-block">③831：奖10元</p><p class="ql-block">④741：奖2元</p><p class="ql-block">⑤822：奖10元</p><p class="ql-block">⑥633：奖1元</p><p class="ql-block">⑦732：奖2元</p><p class="ql-block">⑧660：奖20元</p><p class="ql-block">⑨651：奖1元</p><p class="ql-block">⑩642：奖1元</p><p class="ql-block">⑪444：奖1元</p><p class="ql-block">⑫552：奖1元</p><p class="ql-block"><b style="color:rgb(237, 35, 8);">⑬543：赔10元</b></p> <p class="ql-block">初看上去，这个游戏貌似对玩家很有利。12颗珠子数量的分类一共有13类，其中12类都是中奖，而且还有100元的大奖，只有“543”这1类是输钱，我们赢钱的几率貌似很大。</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">然而事实的真相果真如此吗？</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">要想搞清楚这个游戏对玩家是否有利，我们需要严格计算每一种情况的概率和综合收益期望值。</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">总共有24颗珠子，从中任意摸出12颗，由于珠子是无序的，这是一个组合数。总共情况数=C(24,12)=2704156</p> <p class="ql-block">①840：奖100元</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">C(8,8)×C(8,4)=1×70=70</p><p class="ql-block">“840”的顺序一共有A(3,3)=6种</p><p class="ql-block">分别为：“840”、“804”、“480”、“408”、“084”、“048”</p><p class="ql-block">情况数为：70×6=420</p><p class="ql-block">概率为：420/2704156≈0.01553%</p> <p class="ql-block">②750：奖20元</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">C(8,7)×C(8,5)×A(3,3)</p><p class="ql-block">=C(8,1)×C(8,3)×A(3,3)</p><p class="ql-block">=8×56×6=2688</p><p class="ql-block">情况数为：2688</p><p class="ql-block">概率为：2688/2704156≈0.0994%</p> <p class="ql-block">③831：奖10元</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">C(8,8)×C(8,3)×C(8,1)×A(3,3)</p><p class="ql-block">=1×56×8×6=2688</p><p class="ql-block">情况数为：2688</p><p class="ql-block">概率为：2688/2704156≈0.0994%</p> <p class="ql-block">④741：奖2元</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">C(8,7)×C(8,4)×C(8,1)×A(3,3)</p><p class="ql-block">=8×70×8×6=26880</p><p class="ql-block">情况数为：26880</p><p class="ql-block">概率为：26880/2704156≈0.994%</p> <p class="ql-block">⑤822：奖10元</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">C(8,8)×C(8,2)×C(8,2)</p><p class="ql-block">=1×28×28=784</p><p class="ql-block">“822”的顺序一共有C(3,1)=3种</p><p class="ql-block">分别为：“822”、“282”、“228”</p><p class="ql-block">情况数为：784×3=2352</p><p class="ql-block">概率为：2352/2704156≈0.0870%</p> <p class="ql-block">⑥633：奖1元</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">C(8,6)×C(8,3)×C(8,3)×C(3,1)</p><p class="ql-block">=28×56×56×3=263424</p><p class="ql-block">情况数为：263424</p><p class="ql-block">概率为：263424/2704156≈9.74%</p> <p class="ql-block">⑦732：奖2元</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">C(8,7)×C(8,3)×C(8,2)×A(3,3)</p><p class="ql-block">=8×56×28×6=75264</p><p class="ql-block">情况数为：75264</p><p class="ql-block">概率为：75264/2704156≈2.783%</p> <p class="ql-block">⑧660：奖20元</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">C(8,6)×C(8,6)×C(3,1)</p><p class="ql-block">=28×28×3=2352</p><p class="ql-block">情况数为：2352</p><p class="ql-block">概率为：2352/2704156≈0.0870%</p> <p class="ql-block">⑨651：奖1元</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">C(8,6)×C(8,5)×C(8,1)×A(3,3)</p><p class="ql-block">=28×56×8×6=75264</p><p class="ql-block">情况数为：75264</p><p class="ql-block">概率为：75264/2704156≈2.783%</p> <p class="ql-block">⑩642：奖1元</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">C(8,6)×C(8,4)×C(8,2)×A(3,3)</p><p class="ql-block">=28×70×28×6=329280</p><p class="ql-block">情况数为：329280</p><p class="ql-block">概率为：329280/2704156≈12.2%</p> <p class="ql-block">⑪444：奖1元</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">C(8,4)×C(8,4)×C(8,4)</p><p class="ql-block">=70×70×70=343000</p><p class="ql-block">“444”的顺序只有1种</p><p class="ql-block">情况数为：343000×1=343000</p><p class="ql-block">概率为：343000/2704156≈0.09%</p> <p class="ql-block">⑫552：奖1元</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">C(8,5)×C(8,5)×C(8,2)×C(3,1)</p><p class="ql-block">=56×56×28×3=263424</p><p class="ql-block">情况数为：263424</p><p class="ql-block">概率为：263424/2704156≈9.74%</p> <p class="ql-block"><b style="color:rgb(237, 35, 8);">⑬543：赔10元</b></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="color:rgb(237, 35, 8);">C(8,5)×C(8,4)×C(8,3)×A(3,3)</b></p><p class="ql-block"><b style="color:rgb(237, 35, 8);">=56×70×56×6=1317120</b></p><p class="ql-block"><b style="color:rgb(237, 35, 8);">情况数为：1317120</b></p><p class="ql-block"><b style="color:rgb(237, 35, 8);">概率为：1317120/2704156≈49%</b></p> <p class="ql-block">我们来验证一下刚才的计算是否准确，将每一类的情况数相加：</p><p class="ql-block">420+2688+2688+26880+2352+263424+75264+2352+75264+329280+343000+263424+1317120</p><p class="ql-block">=2704156=C(24,12)</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">两者结果相吻合，充分说明我们之前的计算是完全正确的。</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">大家看出端倪了吗？摸到“543”的概率约为48.7%，几乎接近于1/2。也就是说，<b style="color:rgb(237, 35, 8);">摸到“543”这1种情况的概率约等于其他12种情况的概率之和。</b></p> <p class="ql-block">最后，我们再来算一算作为玩家的收益期望，看看我们玩游戏的人到底能否赢钱？</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">综合收益期望值：</p><p class="ql-block">E=(420×100+2688×20+2688×10+26880×2+2352×10+263424×1+75264×2+2352×20+75264×1+329280×1+343000×1+263424×1-1317120×10)÷2704156</p><p class="ql-block">=(42000+53760+26880+53760+23520+263424+150528+47040+75264+329280+343000+263424-13171200)÷2704156</p><p class="ql-block">=-4.25</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="color:rgb(237, 35, 8);">E=-4.25元</b></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">看到结果了吗？<b style="color:rgb(237, 35, 8);">平均玩一局你就会输掉4.25元！</b></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="color:rgb(1, 1, 1);">不过运气好的话，你也能赚到100元，只是赚到的机会只有0.01553%，而输掉10元的机会则是49%哦！</b></p>