一颗种子的梦想

清韵悠扬

作者：罗兰(原创作品)(专题讲座)

尊敬的教学同仁、亲爱的小伙伴们，大家好！

发展兴趣，点化思维。今天我们一起来探讨“趣味数学”的话题。

兴趣像一颗种子，遇到合适的土壤，拥有空气、水分和阳光，就能茁壮成长。

还记得学生时代，我酷爱数学，尤其喜欢做奥数。一本又一本，一题又一题，遇到难题不是去找老师，而是自己换个思路继续研究。山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村。每每攻破难题，心里特别欢喜，很有成就感。

走进三尺讲台，发现我的学生也热爱数学，喜欢挑战疑难。于是我利用延时服务课的时间，带领全班同学探究课本上的思考题。从中发现有些同学思维活跃，兴趣浓厚，我又义务辅导这些孩子做数学思维训练，鼓励他们每天做一到三个题目。兴趣激活思维，习惯练就能力。同学们进入初中和高中学习，不断传来好消息。一届又一届，一批又一批，211、985，北大、清华、南京、复旦……我应邀出席众多学生的谢师宴，家长感恩我是孩子的指路明灯！我感激同学们有出息！

智慧接力，今天我的团队成员带领孩子们一同挑战趣味数学。课堂妙趣横生，意犹未尽；师生心花怒放，心旷神怡。

兴趣发芽，种子开花，我有了一个想法，那就是研发校本教材。今年暑假，我做了一个校本研究方案。希望学校新增一门思维训练课，并邀请校长和数学组教师参加校本研究。受客观条件限制，思维训练课被搁浅，但我的研究并未停止。以三年级教材为依托，我独立撰写校本课例，准备做十五个有关《趣味数学》的专题，目前已做好四个：《巧填运算符号》《上楼问题》《数阵图与幻方》《最短路线问题》。根据专题内容，我确定研究方向，构建教学模式，搭好教学框架，然后邀请工作室名师上示范课。小组合作研究，组长负责，线上聊课，线下磨课；团队集中做课，我给老师们提出修改建议和优化方案。我们的目标是：以兴趣发展为导向，培养学生思维的灵活性、深刻性和创造性；以能力提升为宗旨，落实学生数学核心素养。学习内容分星级挑战，力求“范例精讲”和“例题改编”面向80%的学生，“随机应变”面向60%的学生，“思维拓展”面向40%的学生。在省内小学数学领域，研发《趣味数学》校本教材的团队，罗兰名师工作室是第一个；作为工作室核心成员，勇于挑战，积极承担示范课任务的老师，王美锋、何玲、吴艳萍是第一批。

　 作为教学活动的引导者，教师要精心创设问题情境，激发挑战兴趣，点拨智慧迷津，培养思维能力。作为课堂学习的主体，学生要善于观察与猜测，思考与联想，分析与推理，应用与创新。下面，我们结合今天的三堂课进行分析。

　《巧填运算符号》侧重数感和计算能力的培养，关注分析和说理。教学关键：引导学生观察数据特点，合理选择解题方法。比如，在相邻的两个数之间填上加号或减号，要使等式成立，应该怎么填？8 7 6 5 4 3 2 1 = 24。当数据比较多且数字比较小，目标得数也不大，我们通常选择假设法。假设通加，看运算得数与目标得数相差多少，再进行调整。加一个数变成减这个数，结果相差多少？学生理解有点困难，并且容易出错。突破教学难点的好办法便是数形结合，化抽象为直观。可利用数轴上一个点对应的数(比如8)分别加1、减1，加2、减2，加3、减3……一一列举，算式和数轴对照，结果两个得数对应的点之间刚好相差2个1、2个2、2个3……学生逐步领悟到：加几变成减几，结果少了这个数的2倍。因势利导：2个几用乘法怎么表示？2×1，2×2，2×3……2×( )。已知2×( )=12，逆向思考：12除以2是多少？这样一来，算理通透，学生不仅做得出来，还能说得明白：如果运算结果比目标得数多2，加1变减1；多4，加2变减2；多6，加3变减3……以此类推，相差几就减这个数的一半。相差12只要减6，因为12÷2=6。原本减12的同学，通过反思知道错在哪里；一些反复试数的同学也有了思考的技巧。今天王老师突破难点的方法更胜一筹！通过移动彩色小方块形象生动地演绎：加几变减几，结果相差两个几。点燃思考兴趣，同学都懂得了这个道理。

改编例题，引发新的思考。8 7 6 5 4 3 2 1 = 45。目标得数变大，采用通加的方法解决不了问题。矛盾冲突迫使孩子们另辟蹊径，找一个两位数的想法水到渠成。理解“合适的位置”是前提，找一个和目标得数相接近的两位数是关键。凭感觉，孩子们一般会想到43，43+2=45，认为越接近越好。但剩下的数通加：8+7+6+5+1=27，27÷2有余数，也就是不能分成得数相等的两份，无论怎么加减，这个算式的结果都不会是0，所以此路不通。往前走一步，54是比较理想的数据，它和45只相差9。融入凑数的思路，先搞定目标得数，再使剩下的数运算结果为0。54-7-2=45，将剩下的数通加：8+6+3+1=18，18÷2=9。相差18，加9变减9即可。8-7－6+54－3－2+1=45，等式成立。分两步思考，先凑数再小通加，顺应孩子们的思维。有些同学选择大通加，一步到位解决问题。8+7+6+54+3+2+1=81，81-45=36，36÷2=18，8-7－6+54－3－2+1=45。由此可见，孩子们对例题的学习比较透彻，灵活应用知识的能力也不错。

　随机应变，同中求异，异中求同。在合适的位置填上+、－、×、÷或( )，要使等式成立，又该怎么填？ 8 7 6 5 4 3 2 1 = 45， 在原有的基础上融入逆推法，从最后一个数出发思考。根据1的计算特点，假设它前面是乘号或除号，43就是明智的选择。因为2×1或2÷1都等于2，43+2=45，目标得数已搞定，剩下的问题便迎刃而解。

8 - 7 - 6 + 5 + 4 3 + 2 × 1=45

8 - 7 - 6 + 5 + 4 3 + 2 ÷ 1=45

假如选定21，逆向思考，21前面的数通过运算必须等于24，假设通加的方法解决不了问题，只能在3的前面填乘号，借助小括号使3前面的数运算结果等于8。当然我们还可以根据15×3=45来思考：（这类题型，“假设、凑数、逆推”相互融合，相得益彰。

（8 - 7 + 6 + 5 - 4）×3 + 2 1=45

8 + 7 - 6 + 5 +4-3 ）×（2+1）=45

当等式两边有相同的数，我们毫无疑问首选逆推法，再将逆推、凑数、通加融为一体。比如：7 6 5 4 3 2 1=1

方法一

(7-6+5-4-3+2)×1=1

7-6+5-4－3+2×1=1

(7-6)×(5-4)×(3-2)×1=1

方法二：

(7-6+5-4-3+2)÷1=1

7-6+5-4－3+2÷1=1

(7-6)÷(5-4)÷(3-2)÷1=1

方法三：

7×(6-5+4-3-2)+1=1

　　玩24点游戏更富有挑战性。从1～13当中任意选四个数，通过加减乘除运算，使得数等于24。思考：8×3=24 ，6×4=24，12×2=24，11×2+2=24，7×2+10=24，6×5-6=24……如果数字比较小，并且有3、4、6、8中的某个数，解决问题的首选是乘法，乘加或乘减。如果其中有两位数，加减乘除混合运算比较常用。

比如：可打乱顺序

2 4 6 8→(8÷4+2)×6=24

→6÷(4÷2)×8=24→8×4－2－6=24→(6-2)×4+8=24

3 7 9 9→3×(7+9÷9)＝24

4 7 8 10→8÷4×7+10=24

……

不可打乱顺序

10 10 4 4→(10×10－4)÷4＝24

10 8 7 8→10×8－7×8＝24

7 7 1 2→(7×7－1)÷2＝24

……

24点游戏比的完全是数感和口算能力。

　　解决数阵图问题，归因分析法比较经典。无论是封闭型还是开放型，其中数据的布阵都是有规律的。找到了规律，可以秒填数据。如果毫无章法，只是反复凑数，或许最后可以解答出来，但效率非常低。如何发现规律，我们还得回过头来找原因，那就是破解线和与数和之间的矛盾。任意两条线相交，都有一个重叠数，因为重叠数的反复出现，导致线和相加的结果大于数和。两条线相交重叠数多算一次，三条线相交重叠数多算两次，四条线相交重叠数多算三次……根据这个规律，我们既可以求出重叠数是几，还可以解决线上其它数的填写问题。比如：线和是3个数相加的两条线相交，可以建立一个等式：3+4+★=▲+2+★。根据等式的性质，两边同时去除重叠数，等式依然成立。已知三个数求第四个数，根据加减法之间的关系逆向思考，孩子们一般都能解决问题，因此找合适的重叠数是关键。其实我们无需知道重叠数是几，因为在计算的过程中它是要被抵消的；只要看哪两条线相交出现了三个已知数，这三个已知数不包括重叠数在内。有些同学往往容易掉入陷阱，比如3+6+★=3+4+★，看似知道三个已知数，实际只有两个生效，显然解决不了问题。同样的道理，在四边形的圆圈内填数，我们可以正向引导学生思考，还可以逆向强化学生思维。比如，为什么不找2或5这两个重叠数？因为相交的两条线上只有两个已知数生效。从封闭型到开放型，数阵图灵活多变，归因分析逐步升温。

　归因分析法不只适用数阵图，解决幻方中的问题依然好用。在三阶幻方中画“米”字形，产生4个幻和，横竖及两条对角线相交于一个中心数，这个中心数被多算了3次。根据等式的性质，可以发现三个中心数刚好等于一个幻和。因为横看或竖看，三阶幻方的总和都是三个幻和。4个幻和－3个幻和=3个中心数，一个幻和是中心数的3倍，每条线上剩下两个数之和是中心数的2倍。发现这些秘密，皆源于归因分析。运用这个规律，幻方的填写又多了一条思路。

比如，40+▲=57+30→▲=47；40+★=30×2→★=20。幻方的奥妙与神奇的确令人着迷！奇数阶、偶数阶，罗伯法、杨辉法、对角线填法带领学生走捷径，快速搞定连续自然数的填写，赢得宝贵的比赛时间。感兴趣的话，老师们可以现场体验。黄金三角形填法也别具一格。以四边形的四个顶点为参照，画等腰三角形，底边上的两个数之和等于顶点数的两倍。比如，57+37=2×( )，94÷2=47；57+( )=40×2，80-57=23……

　《最短路线问题》的教学富有挑战性，教师带领学生闯迷宫，从大胆猜测有多少条路径，到逐一落实每个格点标数的原理，循序渐进，步步为营。对于三年级的孩子来说，缺乏空间概念，没有方向感，理解标数的原理有困难是普遍现象。破解策略：明确方向，分层落实教学目标，侧重有序思考和分析推理能力的培养。(1)体验画线标路径的繁杂，引出标数法；(2)说明标数为1的道理；(3)弄清楚标数为2的方向来源；(4)落实标数为3的算理；(5)仔细观察，有序思考，发现标数规律；(6)运用规律，灵活解决实际问题。复杂的问题从简单的事例着手，一个正方形研究目标方向，右上角必须向右、向上走，逆向行驶比较绕，不是最短路线，入口到出口的最短路线只有两条。着重研究两个正方形的最短路线，弄清楚每个格点由来自哪个方向的路线，分别有几条？为什么？使学生明白：和入口在同一条直线上的格点标数都是1，因为只有来自一个方向的路线，向右或向上；和入口相对角的格点C标数之所以为2，是因为它有来自两个方向的路线，向右和向上各一条。出口处的标数是学生最难理解的，他们通常会认为是2，因为有来自向右向上两个方向的路径。教师可以引导学生联系一个正方形思考，或借助之前的画图验证，从C点往上走到达出口的路线有两条，从D点往右的路线有一条，合起来便是三条，所以标数为3。两个正方形的最短路线研究透了，4个、6个、25个正方形都不是问题，只要发现规律，思考先找哪个点，后标哪个点，认真计算不出错，学生都能愉快地走出迷宫。

　　解决丁字路的问题，依然要关注方向，分析每个点的标数如何形成，关键是处理好丁字点上的标数。比如点A和点B都只有来自一个方向的路线，从下往上走，不能从右往左走，它们的标数都不做加法；点C和点D有来自两个方向的路线，要将向右和向上的标数相加。在某个点设置此路不通，为方便孩子们计算和理解，这个点可以标0。此路不通的点有两种情况，一种在格点上，一种在线上，要引导学生结合具体情况分析，看它堵住了来自哪个方向的路。如果从入口到出口必须经过A点，这是乘法问题，可以先计算入口到A点有多少条最短路线，再计算从A点出发到出口有多少条最短路线，最后将两个标数相乘。当然你也可以选择做加法，到达A点之后接着标数，一气呵成，两种算法结果相同。在标数计算的过程中，A点的左上方和右下方都无需标数，这两个区域的路线是反方向的。最后拓展延伸：从A点到B点，按箭头方向行驶，有多少条路线？它要求的不是最短路线，而是全部路线。把握方向，弄清算理，解决最短路线问题，孩子们得心应手，兴致浓厚。

　　发展兴趣，点化思维，从挂满果实的树中读出美丽。

放飞梦想，播种希望。在数学研究的天地里驰骋，一切皆有可能！