三角形解读

荷池

1.三角形概念及相关概念（要素）（1）概念教学“三件事”：定义——表示——分类。三角形是封闭图形——是与点、线、面、角不同类的研究对象。几何学是研究几何图形的形状、大小和位置关系的学科。（2）定义一个几何图形的数学方式：从几何图形的组成元素、组成元素的形状和位置关系入手。本质上是定义一个集合{x∈A|P(x)}，也就是所有具有共同特征P(x)的图形组成的集合，所以这个时候的定义要做到“纯粹性”、“完备性”，也就是根据定义，一个几何图形是不是三角形是唯一确定的。明确地告诉学生定义数学对象的方式，非常重要。（3）三角形这类几何图形的共同特征：三条线段——组成元素、形状，不在同一条直线上、首尾相接——位置关系。如何让学生意识到“首尾相接”？——这是一个数学化的过程，学生对用数学的方式定义一个对象比较陌生，需要加强引导。三角形的表示：三种语言，边→顶点→角，特别注意符号表示——多种方式。三角形的分类：为什么要分类？如何分类？

2.三角形性质的研究思路和方法基于三角形定义研究三角形的性质：主要侧重学生对图形概念的理解，以及对基于概念的图形性质、关系、变化规律的理解，培养学生初步的抽象能力、更加理性的几何直观和空间想象力；学生还将经历几何证明的过程，感悟数学论证的逻辑，体会数学的严谨性，形成初步的推理能力和重事实、讲道理的科学精神。（1）以三角形的要素（三条边、三个内角）、相关要素（高、中线、角平分线、外角等）以及几何量（边长、角度、面积等）之间的相互关系为基本问题，从“形状、大小和位置关系”等角度展开研究。（2）“形状”中，“特例”是重点——等腰三角形和直角三角形，凡是“特例”都有性质和判定两个基本问题。即在一般观念指导下研究几何图形的性质。

3.三角形性质的层次结构出发点：定义——给出了数学对象的内涵，是判定一个对象的充要条件，是研究数学对象的性质的出发点；第一层次：要素的相互关系（1）三边的定性关系——两边之和大于第三边；（2）内角的定量关系——内角和等于180°；（3）边角的相等关系——等边对等角，等角对等边；（4）边角的不等关系——大边对大角，大角对大边；等等。第二层次：要素、相关要素的相互关系（1）外角与内角的关系——外角等于不相邻两内角之和；（2）外角之间的关系——外角之和为360°；（3）中线的位置关系——三条中线交于一点（重心）；（4）高的位置关系——三条高所在的直线交于一点（垂心）；（5）角平分线的位置关系——三条角平分线交于一点（内心）；（6）三边的垂直平分线的位置关系——三边的垂直平分线交于一点（外心）；（7）三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交于一点（旁心）；（8）三边中点连线与三边的位置关系、大小关系——两边中点连线平行于第三边且等于第三边的一半；等等。第三层次举例：重心的性质......“有层次地认识图形及其关系是数学地认识事物的方法论，是数学逻辑性的集中体现，能帮助学生学会“有逻辑地思考”，培养学生的思维品质（广阔性、条理性、深刻性、独创性和批判性等），使他们掌握独立思考、自主探究的策略与方法，提高发现和提出问题的能力等，都非常重要。这种循序渐进、拾阶而上的过程和方法是数学育人的力量所在，是培养学生的理性思维、发展学生的数学学科核心素养的关键载体。”

4.特殊三角形——等腰三角形、直角三角形一类数学对象中，“特例”的地位往往也是特殊的。发现有价值的“特例”是深刻理解研究对象的重要一环。一种几何对象的“特例”要从“要素或要素关系的特殊化”入手进行抽象；研究的内容是“特例”有哪些不同于“一般”的特殊性质，以及“特例”的判定；研究路径可以是“定义—性质—判定—应用”。基本观念：（1）图形越特殊，内涵（要素）就越多，内涵（要素）之间的关系就越丰富；（2）越基础的知识越能体现“基本思想”的力量，但也是学生不容易想到的，老师要加强引导，而在研究“特例”、“推论”等等时，则一定要多多放手让学生自己去探究；（3）研究的主要问题：特殊条件下图形的要素、相关要素之间会有怎样的特殊关系。

等腰三角形的重要性等腰三角形是最基本的三角形，原因是它的对称性具体而入微地反映了平面的反射对称性，成为讨论平面几何中对称性的种种表现及推论的基本工具。所以，定性平面几何的首要任务是推导等腰三角形的特征性质。和线段的垂直平分线（尺规作图）、轴对称等知识联系起来，以“研究一个特殊的几何对象的基本套路”为指导，在“一个几何图形的性质所研究的问题是……”的引领下，可以让学生自主探究等腰三角形、等边三角形的所有知识。直角三角形的重要性度量是数学的本质所在。勾股定理是欧氏几何的基础性定理，它与平行公理、三角形内角和定理等价；勾股定理是数形结合的纽带，是度量计算的基本工具；勾股定理+线段的不可公度性——无理数的发现；